O maior valor inteiro de k, para que a equação v3 senx + cosx = k - 2 apresente soluções reais é (Mackenzie…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O maior valor inteiro de k, para que a equação v3 senx + cosx = k - 2 apresente soluções reais é (Mackenzie 2012)
- A) 3
- B) 4
- C) 5
- D) 6
- E) 7
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Interpretei 'v3 senx' como √3 sen x, pois é a leitura usual nesse tipo de questão. A equação é √3 sen x + cos x = k - 2. Passo 2: Para expressões da forma a sen x + b cos x, a amplitude (o maior valor possível do módulo) é raiz de (a^2 + b^2). Aqui a = √3 e b = 1, então a amplitude é raiz de (3 + 1) = raiz de 4 = 2. Passo 3: Logo, a expressão √3 sen x + cos x assume valores no intervalo [-2, 2], e a equação tem solução real somente se k - 2 estiver nesse intervalo. Passo 4: Temos -2 ≤ k - 2 ≤ 2, ou seja, 0 ≤ k ≤ 4. Passo 5: O maior valor inteiro de k é 4, que corresponde à alternativa B, igual ao gabarito oficial. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A (3) seria o resultado se a amplitude fosse 1; C (5) surge se a amplitude fosse 3; D (6) surge se a amplitude fosse 4, sem extrair a raiz; E (7) não corresponde a nenhum limite válido para k, pois ultrapassa o máximo 4.
💡 Dica: Analise o intervalo dos valores da função trigonométrica para determinar k.
Alternativa por alternativa
O aluno considera a amplitude igual a 1, ignorando o coeficiente √3 do seno, e obtém k - 2 ≤ 1, o que dá k ≤ 3.
CORRETA. O valor máximo de √3 senx + cosx é 2, então k - 2 = 2 implica k = 4, que é o maior valor inteiro possível.
O aluno usa a amplitude igual a 3, confundindo-a com o coeficiente a^2 = 3 em vez de raiz de (a^2 + b^2) = 2, e obtém k - 2 ≤ 3, ou seja, k ≤ 5.
O aluno calcula a soma dos quadrados dos coeficientes (3 + 1 = 4) e esquece de extrair a raiz quadrada, usando amplitude 4 e obtendo k ≤ 6.
O aluno soma o valor 3 (quadrado de √3) ao 2 da equação, chegando a amplitude 5 e um limite de k superior ao intervalo correto, ou seja, k ≤ 7.
Raio-X da questão
função trigonométrica e intervalo
avaliacao
funções trigonométricas básicas · intervalos de funções
Estude propriedades e intervalos das funções seno e cosseno.
Confundir o domínio da função trigonométrica com o intervalo dos seus valores possíveis.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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