Na figura, P é um ponto do gráfico da função y=f(x), com x e y inversamente proporcionais. Se (3,90) é um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na figura, P é um ponto do gráfico da função y=f(x), com x e y inversamente proporcionais. Se (3,90) é um outro ponto da curva, então a área do triângulo OMP é a área do triângulo OMP é (Mackenzie 2012)
- A) 135
- B) 90
- C) 180
- D) 45
- E) 270
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Como x e y são inversamente proporcionais, o produto xy é constante, isto é, xy = k. Pelo ponto (3, 90) da curva, temos k = 3 · 90 = 270. Logo, a função é y = 270/x e, para qualquer ponto P = (x, y) da curva, xy = 270. Passo 2: Na figura, o triângulo OMP tem vértice na origem O e o ponto M é a projeção de P sobre um dos eixos, de modo que o triângulo é retângulo, com catetos iguais às coordenadas de P (a distância de O até M e a distância de M até P). Assim, a base mede x e a altura mede y, ou vice-versa. Passo 3: A área de um triângulo é (base · altura)/2. Então a área de OMP é (x · y)/2 = 270/2 = 135. Passo 4: Observe que o resultado não depende da posição específica de P, pois o produto xy é sempre igual a 270. Por isso a área é constante ao longo da curva. Passo 5: Justificativa das alternativas erradas. B (90) está errada porque 90 é apenas a ordenada do ponto dado e não a área do triângulo. C (180) está errada porque não corresponde a xy/2, já que xy/2 é exatamente 135. D (45) está errada porque é a metade de 90, valor que não representa o produto xy. E (270) está errada porque é o valor de xy, esquecendo a divisão por 2 da fórmula da área do triângulo.
💡 Dica: Use a relação de proporcionalidade inversa para encontrar a função e calcule a área do triângulo.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Ao determinar a equação da função inversamente proporcional (y = k/x), encontrar o valor de k usando o ponto (3,90), obter as coordenadas de P e calcular a área do triângulo OMP, chega-se ao valor 135.
O aluno toma a ordenada 90 do ponto dado como se fosse a própria área do triângulo, sem relacionar a área com o produto das coordenadas de P.
O aluno calcula a constante k = 270 e, em vez de aplicar a fórmula da área, subtrai 90 ou faz outra operação aleatória, chegando a 180.
O aluno pega a metade da ordenada dada (90/2 = 45) e a interpreta como área, ignorando a relação de proporcionalidade inversa e o produto xy.
O aluno corretamente encontra xy = 270, mas esquece de dividir por 2 e confunde a área do triângulo com a do retângulo de lados x e y.
Raio-X da questão
proporcionalidade inversa e área triângulo
avaliacao
proporcionalidade inversa · area de triângulo
Estude proporcionalidade inversa e cálculo de área de triângulos.
Confundir proporcionalidade inversa com direta ou calcular área incorretamente.
pensamento_critico
abstrato
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