I. Se a e b são números reais positivos e diferentes de 1, tais que log_a b - 1/3 log_b e = 0, então o valor…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
I. Se a e b são números reais positivos e diferentes de 1, tais que log_a b - 1/3 log_b e = 0, então o valor de a é 0,001. II. Se (1 - sen x, 1 - cos x, 1 + sen x), 0 < x < p/2, é uma progressão geométrica, cos 3x é igual a -1. III. Se a representação gráfica dos pares (x, y), soluções do sistema { x - 3y = k ; 2x - py = 8 }, com k e p reais, é uma reta, então k + p = 10. Considerando as afirmações I, II e III acima, é correto afirmar que (Mackenzie 2012)
- A) somente I e II são verdadeiras.
- B) somente II é verdadeira.
- C) somente III é verdadeira.
- D) somente II e III são verdadeiras.
- E) todas são verdadeiras.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Afirmação I. Usando mudança de base para o logaritmo natural (ln), log de b na base a = ln b / ln a, e log de e na base b = ln e / ln b = 1 / ln b. A equação log_a b - (1/3) log_b e = 0 vira ln b / ln a = 1 / (3 ln b). Multiplicando cruzado: (ln b)^2 = (1/3) ln a, ou seja, ln a = 3 (ln b)^2, que é maior ou igual a zero. Logo a é maior ou igual a 1, e a = 0,001 (menor que 1) é impossível. A afirmação I é falsa. Passo 2: Afirmação II. Em uma progressão geométrica, o termo do meio ao quadrado é igual ao produto dos extremos: (1 - cos x)^2 = (1 - sen x)(1 + sen x), isto é, 1 - 2 cos x + cos^2 x = 1 - sen^2 x = cos^2 x. Então 1 - 2 cos x = 0, logo cos x = 1/2. Com 0 < x < pi/2, temos x = pi/3. Assim 3x = pi e cos 3x = -1. A afirmação II é verdadeira. Passo 3: Afirmação III. Um sistema linear de duas equações tem infinitas soluções, formando uma reta, quando as equações são proporcionais. Pelo determinante dos coeficientes igual a zero: 1 * (-p) - (-3) * 2 = 0, logo p = 6. Com p = 6, a segunda equação fica 2x - 6y = 8, que é 2 vezes (x - 3y = 4), então devemos ter k = 4. Assim k + p = 4 + 6 = 10, e a afirmação III é verdadeira. Passo 4: Conclusão. Somente II e III são verdadeiras, alternativa D. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A: inclui a afirmação I, que é falsa. B: ignora a afirmação III, que é verdadeira. C: ignora a afirmação II, que é verdadeira. E: inclui a afirmação I, que é falsa.
💡 Dica: Analise cada afirmação separadamente e aplique propriedades de logaritmos, progressão geométrica e sistemas lineares.
Alternativa por alternativa
O aluno aceita a igualdade log_a b = (1/3) log_b e e conclui a = 0,001 sem verificar o sinal de ln a; não percebe que (ln b)^2 não pode ser negativo, o que exige a maior ou igual a 1.
O aluno acha que o sistema não representa uma reta com k = 4 e p = 6, por exemplo por errar o sinal no determinante (obtendo p = -6) ou por achar que k não tem relação com p, e portanto rejeita a afirmação III.
Ao desenvolver (1 - cos x)^2, o aluno esquece o termo cruzado -2 cos x e escreve 1 - cos^2 x, o que leva a cos^2 x = 1/2, x = pi/4 e cos 3x = -raiz de 2 / 2, dando II como falsa.
É a resposta que o enunciado sustenta.
O aluno trata a igualdade com logaritmos como se qualquer valor pudesse ser escolhido para a, aceitando a = 0,001 sem checar que o logaritmo de a deve ser positivo e que o quadrado de ln b não é negativo.
Raio-X da questão
logaritmos, progressão geométrica, sistemas lineares
avaliacao
propriedades de logaritmos · progressão geométrica
Estude propriedades de logaritmos, progressões geométricas e resolução de sistemas lineares.
Confundir propriedades de logaritmos e progressão geométrica, ou interpretar incorretamente as condições do sistema linear.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog