Considere as raízes positivas a e b da equação x³ – 7x + 6 = 0, com a < b, e seja a circunferência de centro…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere as raízes positivas a e b da equação x³ – 7x + 6 = 0, com a < b, e seja a circunferência de centro P(a,b). Se essa circunferência é tangente externamente à curva x² + y² – 10x + 2y + 17 = 0, o raio da circunferência de centro P é (Mackenzie 2012)
- A) 1
- B) √2
- C) √3
- D) 2
- E) 2√3
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Fatorar a equação x^3 - 7x + 6 = 0. Testando x = 1: 1 - 7 + 6 = 0, logo (x - 1) é fator. Dividindo, obtemos (x - 1)(x^2 + x - 6) = (x - 1)(x + 3)(x - 2). As raízes são 1, -3 e 2. As raízes positivas são 1 e 2, e como a < b, temos a = 1 e b = 2. Portanto, P(1, 2).
- Escrever a equação da segunda circunferência completando quadrados. x^2 - 10x + y^2 + 2y + 17 = 0 fica (x - 5)^2 - 25 + (y + 1)^2 - 1 + 17 = 0, ou seja, (x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 9. O centro é C(5, -1) e o raio é 3.
- Na tangência externa, a distância entre os centros é igual à soma dos raios: PC = r + 3.
- Calcular PC = raiz de ((5 - 1)^2 + (-1 - 2)^2) = raiz de (16 + 9) = raiz de 25 = 5.
- Então r + 3 = 5, o que dá r = 2. A alternativa correta é a D. O gabarito oficial está correto.
- Por que as outras estão erradas: A) raio 1 implicaria distância 4, que não corresponde às coordenadas dos centros. B) raiz de 2 não é o valor que satisfaz r + 3 = 5. C) raiz de 3 também não satisfaz essa igualdade. E) 2 raiz de 3 é aproximadamente 3,46, o que resultaria em distância maior que 5.
💡 Dica: Calcule as raízes, determine o centro e use a condição de tangência entre circunferências.
Alternativa por alternativa
Ao calcular a distância entre P e C, provavelmente errou uma diferença de coordenadas (por exemplo, usou 4 e 0 ou tomou uma distância de 4), chegando a r + 3 = 4.
Provavelmente encontrou um valor de raiz quadrada ao trocar a soma dos raios pela raiz de um produto ou ao confundir a equação da circunferência, chegando a um raio que não satisfaz r + 3 = 5.
Provavelmente confundiu o raio da segunda circunferência com raiz de 9 ou tirou a raiz de um número errado na equação, obtendo r^2 = 3 em vez de r = 2.
CORRETA. Após encontrar as raízes positivas da equação cúbica, determinar os centros e raios das circunferências e aplicar a condição de tangência externa, o raio correto é 2.
Provavelmente errou o termo independente ao completar quadrados (por exemplo, obteve raio^2 = 12) ou usou a condição de tangência interna, o que leva a um raio maior que o correto.
Raio-X da questão
raízes, circunferência, tangência
avaliacao
equações polinomiais de grau 3 · propriedades de circunferências
estude equações polinomiais, propriedades de circunferências e tangência
confundir as raízes da equação com os valores do raio ou do centro da circunferência.
pensamento_critico
abstrato
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