As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Se a área do triângulo é 1/6, o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Se a área do triângulo é 1/6, o seu perímetro é (Mackenzie 2012)
- A) 12
- B) 5/6
- C) 4
- D) 2
- E) 7/6
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Chame os lados de a - r, a e a + r, em progressão aritmética de razão r, sendo a + r a hipotenusa, pois é o maior lado. Passo 2: Pelo teorema de Pitágoras, (a - r)^2 + a^2 = (a + r)^2, o que resulta em a^2 - 2ar + r^2 + a^2 = a^2 + 2ar + r^2, logo a^2 = 4ar e, como a não é zero, a = 4r. Passo 3: Os lados ficam 3r, 4r e 5r, que é a terna pitagórica clássica. Passo 4: A área é (1/2)(3r)(4r) = 6r^2. Igualando a 1/6, temos 6r^2 = 1/6, então r^2 = 1/36 e r = 1/6, pois os lados são positivos. Passo 5: O perímetro é 3r + 4r + 5r = 12r = 12 · (1/6) = 2. Passo 6: Comparando com o gabarito oficial, a resposta é D, coincidindo com a minha resolução. Por que as outras estão erradas: A) 12 seria o perímetro se r fosse 1, mas o r precisa ser obtido pela área; B) 5/6 é o valor da hipotenusa 5r, e não do perímetro; C) 4 não corresponde a nenhuma soma dos lados com o r obtido a partir da área; E) 7/6 seria a soma só dos catetos, 3r + 4r, esquecendo a hipotenusa.
💡 Dica: Use a relação da progressão aritmética e a fórmula da área do triângulo para encontrar os lados e o perímetro.
Alternativa por alternativa
Assume que r = 1 e calcula 12r, ignorando a condição da área para determinar o valor de r.
Confunde o perímetro com a hipotenusa, tomando 5r = 5/6 como resposta.
Erra ao resolver a equação da área 6r^2 = 1/6 ou ao extrair a raiz, obtendo um valor de r que não corresponde a 1/6 e chegando a um perímetro incorreto.
CORRETA. Ao representar os lados como (a-d), a, (a+d), aplicar o teorema de Pitágoras e a fórmula da área, chega-se ao perímetro igual a 2.
Soma apenas os catetos (3r + 4r = 7r = 7/6), esquecendo que o perímetro inclui também a hipotenusa.
Raio-X da questão
progressão aritmética e triângulo retângulo
avaliacao
progressão aritmética · área do triângulo
Estude progressão aritmética e propriedades de triângulos retângulos.
Confundir a fórmula da área do triângulo ou não aplicar corretamente a progressão aritmética nos lados.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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