Os valores de k, para que o sistema {x – y + z = 2 3x + ky + z = 1 –x + y + kz = 3 } não tenha solução real…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Os valores de k, para que o sistema {x – y + z = 2 3x + ky + z = 1 –x + y + kz = 3 } não tenha solução real, são os 2 primeiros termos de uma progressão aritmética de termos crescentes. Então, nessa PA, o logaritmo na base v3 do quadragésimo terceiro termo é (Mackenzie 2011)
- A) 8
- B) 10
- C) 12
- D) 14
- E) 16
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Escreva a matriz dos coeficientes do sistema e calcule o determinante D = k^2 + 4k + 3 = (k+1)(k+3). O sistema não tem solução real quando D = 0 e o sistema é incompatível. Passo 2: D = 0 para k = -1 ou k = -3. Passo 3: Verifique a incompatibilidade. Para k = -1, as equações x - y + z = 2 e -x + y - z = 3 se contradizem, pois a soma delas daria 0 = 5. Para k = -3, combinando a 1 e a 2 obtém-se z = 5/2 e, substituindo na 3, chega-se a -7 = 3, o que é absurdo. Logo, os dois valores servem. Passo 4: Os dois primeiros termos da PA crescente são -3 e -1, então a razão é r = 2 e o termo geral é a_n = 2n - 5. Passo 5: O quadragésimo terceiro termo é a_43 = 2 x 43 - 5 = 81. Passo 6: Calcule o logaritmo de 81 na base raiz de 3. Como (raiz de 3)^x = 3^(x/2), a equação é 3^(x/2) = 3^4, logo x = 8. Equivalentemente, log na base raiz de 3 de 81 = 2 x log na base 3 de 81 = 2 x 4 = 8. Passo 7: Conclusão: a alternativa correta é A (8), concordando com o gabarito oficial. Alternativas erradas: B) 10 aparece se o aluno elevar 3 a 5 em vez de 3 a 4 ao converter a base. C) 12 aparece se o aluno achar que log na base 3 de raiz de 3 vale 1/3, obtendo 4 / (1/3). D) 14 aparece se o aluno errar o determinante e chegar a outros valores de k, o que muda a PA e o resultado. E) 16 aparece se o aluno elevar ao quadrado o logaritmo na base 3 de 81, em vez de multiplicá-lo por 2.
💡 Dica: Use propriedades de sistemas lineares e progressão aritmética para encontrar k e calcule o logaritmo pedido.
Alternativa por alternativa
CORRETA. O determinante do sistema é nulo para k = 2 e k = 4, formando a PA (2, 4, 6, ...). O 43º termo é 2 + 42×2 = 86. log_√3(86) = log_3(86)/0,5 = 2×log_3(86) ≈ 8.
O aluno calcula corretamente a_43 = 81, mas ao converter a base raiz de 3 usa 3^5 = 243 no lugar de 3^4, errando o expoente.
O aluno acredita que log na base 3 de raiz de 3 vale 1/3 (confundindo raiz de 3 com 3^3) e divide 4 por 1/3, obtendo 12.
O aluno erra o cálculo do determinante ou esquece uma das raízes, encontrando valores de k diferentes, o que altera a PA e o termo final.
O aluno trata log na base raiz de 3 de 81 como (log na base 3 de 81)^2 = 4^2 = 16, confundindo a propriedade do logaritmo de potência com a potência do logaritmo.
Raio-X da questão
sistemas lineares, progressão aritmética, logaritmo
diagnostico
sistemas lineares · progressão aritmética
Estude sistemas lineares, progressão aritmética e propriedades de logaritmos.
Confundir condições de existência de solução do sistema e erro no cálculo do termo da progressão aritmética.
pensamento_critico
abstrato
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