Seja t a reta bissetriz dos ângulos agudos formados pelas retas (r) v3 x + y – 5 = 0 e (s) v3 x – y – 2 = 0…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Seja t a reta bissetriz dos ângulos agudos formados pelas retas (r) v3 x + y – 5 = 0 e (s) v3 x – y – 2 = 0. Considere um ponto B ? t, cuja a distância à reta s seja 3. Dessa forma, a distância da interseção das retas r e s à projeção de B sobre r é (Mackenzie 2011)
- A) √3
- B) 4
- C) 2√3
- D) 3√3
- E) 5
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Encontre o ponto de interseção P de r (raiz de 3 x + y - 5 = 0) e s (raiz de 3 x - y - 2 = 0). Somando as equações: 2 raiz de 3 x - 7 = 0, logo x = 7/(2 raiz de 3). Substituindo em s: y = raiz de 3 x - 2 = 7/2 - 2 = 3/2. Assim P = (7/(2 raiz de 3), 3/2).
- Determine as bissetrizes. Os vetores normais são (raiz de 3, 1) e (raiz de 3, -1), ambos de módulo 2. As bissetrizes são (raiz de 3 x + y - 5)/2 = ±(raiz de 3 x - y - 2)/2. O sinal de mais dá 2y - 3 = 0, ou seja, y = 3/2 (horizontal). O sinal de menos dá 2 raiz de 3 x - 7 = 0, ou seja, x = 7/(2 raiz de 3) (vertical).
- Identifique a bissetriz dos ângulos agudos. A reta r tem inclinação -raiz de 3 (direção de 120 graus) e s tem inclinação raiz de 3 (direção de 60 graus). Os ângulos entre elas são de 60 graus (agudos) e 120 graus (obtusos). A bissetriz do ângulo agudo é a vertical, pois o ângulo entre as direções de 60 e 120 graus tem bissetriz em 90 graus. Logo t: x = 7/(2 raiz de 3), que passa por P. A horizontal y = 3/2 é a bissetriz dos ângulos obtusos.
- Localize B. Como B está em t, B = (7/(2 raiz de 3), y). A distância de B a s é |raiz de 3 x - y - 2|/2 = |3/2 - y|/2 = 3, então |3/2 - y| = 6. Logo B está a 6 unidades de P ao longo de t.
- Calcule a projeção. O ângulo entre t (90 graus) e r (120 graus) é de 30 graus. A projeção de B sobre r está a uma distância de P igual a BP vezes cos 30 graus = 6 x raiz de 3/2 = 3 raiz de 3. Esse é o resultado pedido, que corresponde à alternativa D. Como verificação, a distância de B a r é 6 x sen 30 graus = 3, coerente com o enunciado.
- Por que as outras estão erradas: A (raiz de 3) não corresponde ao cálculo com o ângulo de 30 graus e a distância de 6; B (4) não surge de nenhuma etapa correta; C (2 raiz de 3) decorre de um valor incorreto de BP ou do ângulo; E (5) não é o resultado de nenhuma projeção correta com os dados do problema.
💡 Dica: Calcule a bissetriz, use distância ponto-reta e projeção ortogonal.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tomou a bissetriz obtusa (horizontal) ou usou um ângulo incorreto entre t e r, obtendo uma projeção de módulo raiz de 3.
O aluno pode ter calculado o ângulo entre t e r como 45 graus ou ter arredondado a projeção, em vez de usar o cosseno de 30 graus com BP = 6.
O aluno provavelmente errou a distância BP ao calcular a coordenada y de B (por exemplo, trocando a norma 2 da reta s por raiz de 3 na fórmula da distância), o que altera o valor final.
CORRETA. Seguindo todos os passos corretamente — encontrando a bissetriz dos ângulos agudos, determinando o ponto B a partir da distância à reta s, projetando B sobre r e calculando a distância entre a interseção das retas e a projeção — chega-se ao valor 3√3.
O aluno pode ter confundido a distância de B à reta s (3) com a distância da projeção ou ter somado valores sem justificativa geométrica, chegando a 5.
Raio-X da questão
bissetriz, distância ponto-reta, projeção ortogonal
avaliacao
equação da reta · distância ponto a reta
Estude bissetriz de ângulos, distância entre ponto e reta e projeção ortogonal.
Confundir a bissetriz com mediatriz ou calcular distância incorretamente.
pensamento_critico
abstrato
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