No intervalo [0;p], seja k o número de valores reais de x tais que sen²x = |cos x|. Dessa forma, (Mackenzie…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No intervalo [0;p], seja k o número de valores reais de x tais que sen²x = |cos x|. Dessa forma, (Mackenzie 2011)
- A) sen(2k) > 0
- B) sen(k/2) < 0
- C) tg(2k) > 0
- D) cos(3k) < 0
- E) cos(k/2) < 0
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Na equação sen²x = |cos x|, use sen²x = 1 - cos²x. Chamando c = |cos x| (com 0 <= c <= 1), obtemos 1 - c² = c, ou seja, c² + c - 1 = 0. A raiz positiva é c = (raiz de 5 - 1)/2, aproximadamente 0,618. Passo 2: Em [0; pi], cada valor de cos x é atingido exatamente uma vez. Como |cos x| = 0,618, temos cos x = 0,618 (uma solução em [0; pi/2)) ou cos x = -0,618 (uma solução em (pi/2; pi]). Logo k = 2. Passo 3: Com k = 2, os arcos são 2k = 4 rad, k/2 = 1 rad, 3k = 6 rad e tg(2k) = tg(4). Passo 4: Em 4 rad (aproximadamente 229 graus), estamos no terceiro quadrante, onde a tangente é positiva (seno e cosseno são negativos). Assim tg(4) > 0, e a alternativa C é verdadeira. Passo 5: As outras alternativas são falsas. A: sen(4) é negativo, então sen(2k) < 0. B: sen(1) é positivo, então sen(k/2) > 0. D: cos(6) é positivo (6 rad, aproximadamente 344 graus, no quarto quadrante), então cos(3k) > 0. E: cos(1) é positivo, então cos(k/2) > 0. Passo 6: O gabarito oficial C está correto e coincide com a resolução feita aqui.
💡 Dica: Analise a equação trigonométrica e determine o número de soluções no intervalo dado.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula k = 2, mas supõe que sen(4) é positivo, possivelmente por não situar 4 rad no ciclo trigonométrico. Em 4 rad (entre pi e 3pi/2) o seno é negativo.
O aluno calcula k/2 = 1 rad e acredita que o seno desse arco é negativo, como se 1 rad estivesse no terceiro quadrante. Na verdade, 1 rad (cerca de 57 graus) está no primeiro quadrante, onde o seno é positivo.
CORRETA. Após resolver a equação, encontra-se k = 3. Substituindo em tg(2k), temos tg(6), que é positivo, confirmando a alternativa.
O aluno obtém 3k = 6 rad e supõe que o cosseno é negativo, confundindo a posição de 6 rad no ciclo. Como 6 rad está entre 3pi/2 e 2pi, o cosseno é positivo.
O aluno calcula k/2 = 1 rad e acredita que o cosseno desse arco é negativo, talvez por associar qualquer arco em radianos a ângulo obtuso. Como 1 rad é menor que pi/2, o cosseno é positivo.
Raio-X da questão
equação trigonométrica, soluções reais
avaliacao
funções trigonométricas básicas · propriedades de funções seno e cosseno
Estude resolução de equações trigonométricas e propriedades de funções seno e cosseno.
Confundir o domínio das funções ou não considerar o valor absoluto na equação, levando a soluções incorretas.
pensamento_critico
abstrato
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