Relativas ao sistema {kx + 4ky = 0 3x + ky = 8 , k ? R , considere as afirmações I, II e III abaixo. I)…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Relativas ao sistema {kx + 4ky = 0 3x + ky = 8 , k ? R , considere as afirmações I, II e III abaixo. I) Apresenta solução única para, exatamente, dois valores distintos de k. II) Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k. III) É impossível para um único valor de k. Dessa forma, (Mackenzie 2011)
- A) somente I está correta.
- B) somente II e III estão corretas.
- C) somente I e III estão corretas.
- D) somente III está correta.
- E) I, II e III estão corretas.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Escreva a matriz do sistema. A determinante é D = k*k - (4k)*3 = k^2 - 12k = k(k - 12). O sistema tem solução única quando D é diferente de 0, ou seja, para k diferente de 0 e k diferente de 12. Isso acontece para infinitos valores de k, não para exatamente dois. Logo, a afirmação I é falsa. Passo 2: Analise k = 0. A primeira equação vira 0x + 0y = 0, que é sempre verdadeira, e a segunda vira 3x = 8, ou seja, x = 8/3, com y livre. Há infinitas soluções, portanto mais de uma solução para um único valor de k. A afirmação II é verdadeira. Passo 3: Analise k = 12. A primeira equação vira 12x + 48y = 0, isto é, x = -4y. Substituindo na segunda, 3(-4y) + 12y = 8 resulta em 0 = 8, um absurdo. O sistema é impossível, então a afirmação III é verdadeira. Passo 4: Conclusão: apenas II e III estão corretas, o que corresponde à alternativa B, igual ao gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A afirma que só I está correta, mas I é falsa. C inclui I, que é falsa. D afirma que só III está correta, mas II também é verdadeira para k = 0. E afirma que as três estão corretas, mas I é falsa.
💡 Dica: Analise o sistema para diferentes valores de k e verifique as condições de existência e unicidade da solução.
Alternativa por alternativa
Acredita que a solução única ocorre exatamente para dois valores de k, confundindo a condição de unicidade com os valores especiais k = 0 e k = 12 e ignorando que todos os demais valores de k também dão solução única.
CORRETA. O sistema apresenta mais de uma solução (infinitas) para k = 12 (sistema possível e indeterminado) e é impossível para k = 0 (sistema impossível), conforme as afirmações II e III.
Aceita a afirmação I por achar que a solução única ocorre apenas nos valores que anulam a determinante, invertendo a condição D diferente de 0 com D igual a 0.
Supõe que, quando a determinante é zero, o sistema é sempre impossível, sem perceber que para k = 0 a primeira equação some e o sistema tem infinitas soluções.
Aceita a afirmação I, possivelmente lendo apenas que existem dois valores especiais de k sem verificar que a condição de solução única vale para os demais valores, ou confundindo exatamente dois com pelo menos dois.
Raio-X da questão
sistemas lineares e valores de parâmetro
diagnostico
sistemas lineares 2x2 · determinante de matriz
estude sistemas lineares e condições de existência e unicidade de soluções
Confundir os valores de k que geram soluções únicas, múltiplas ou inexistentes, ou não aplicar corretamente as condições do determinante.
pensamento_critico
abstrato
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