Uma circunferência de centro (4,y), com y ? Z, é tangente às retas x + y – 2 = 0 e x – 7y + 2 = 0. O raio…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma circunferência de centro (4,y), com y ? Z, é tangente às retas x + y – 2 = 0 e x – 7y + 2 = 0. O raio dessa circunferência é (Mackenzie 2011)
- A) 4
- B) 5
- C) 4√2
- D) 5√2
- E) 6√2
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Para a circunferência ser tangente às duas retas, a distância do centro (4, y) a cada reta deve ser igual ao raio. Passo 2: Distância à reta x + y - 2 = 0: d1 = |4 + y - 2| / raiz de (1^2 + 1^2) = |y + 2| / raiz de 2. Passo 3: Distância à reta x - 7y + 2 = 0: d2 = |4 - 7y + 2| / raiz de (1^2 + 7^2) = |6 - 7y| / raiz de 50 = |6 - 7y| / (5 raiz de 2). Passo 4: Igualando d1 = d2 e multiplicando por 5 raiz de 2: 5|y + 2| = |6 - 7y|. Passo 5: Caso 1, 5(y + 2) = 6 - 7y, daí 12y = -4 e y = -1/3, que não é inteiro e portanto é descartado. Passo 6: Caso 2, 5(y + 2) = 7y - 6, daí 2y = 16 e y = 8, que é inteiro e serve. Passo 7: Com y = 8 o centro é (4, 8) e o raio é d1 = |8 + 2| / raiz de 2 = 10 / raiz de 2 = 5 raiz de 2. Conferindo na reta 2: |6 - 56| / (5 raiz de 2) = 50 / (5 raiz de 2) = 10 / raiz de 2 = 5 raiz de 2, o que confirma. Passo 8: Portanto a alternativa correta é D, 5 raiz de 2, em concordância com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A) 4 não corresponde a nenhum cálculo de distância com y inteiro válido; B) 5 surge se o fator raiz de 2 do denominador for ignorado ou trocado por 2; C) 4 raiz de 2 corresponderia a y = 6, que não satisfaz a igualdade das distâncias; E) 6 raiz de 2 corresponderia a y = 10, que também não satisfaz a igualdade.
💡 Dica: Calcule a distância do centro às retas para encontrar o raio.
Alternativa por alternativa
Confunde o raio com a abscissa do centro (4) ou ignora o cálculo da distância ponto-reta, achando que o raio é simplesmente o valor de x.
Calcula corretamente o numerador 10, mas divide por 2 no lugar de raiz de 2, perdendo o radical na fórmula da distância.
Erra ao resolver a equação modular, trocando o sinal e obtendo y = 6; com esse valor, |6 + 2| / raiz de 2 = 4 raiz de 2.
CORRETA. Ao igualar as distâncias do centro da circunferência às duas retas e resolver o sistema, encontra-se que o raio é 5√2.
Erra o sinal na equação modular e obtém y = 10; com esse valor, |10 + 2| / raiz de 2 = 6 raiz de 2, sem verificar a igualdade com a segunda reta.
Raio-X da questão
distância ponto reta, circunferência tangente
diagnostico
distância entre ponto e reta · equação da circunferência
estude distância entre ponto e reta e propriedades da circunferência tangente
Confundir a distância do centro à reta com o raio ou não aplicar corretamente a fórmula da distância ponto-reta.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog