Considere o conjunto A = {v3/2, 7/5, 1/2, p, p/2} e a igualdade y = log2 log1/2 (x² - x + 1). Em A, o número…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere o conjunto A = {v3/2, 7/5, 1/2, p, p/2} e a igualdade y = log2 log1/2 (x² - x + 1). Em A, o número de elementos que x pode assumir, para que y seja real, é (Mackenzie 2011)
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 4
- E) 5
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Para que y = log2 (log1/2 (x² - x + 1)) seja real, o argumento de cada logaritmo deve ser positivo, em sequência de dentro para fora.
- O primeiro argumento é x² - x + 1. Seu discriminante é (-1)² - 4·1·1 = -3 < 0, logo o trinômio é sempre positivo. Essa condição não restringe x.
- O logaritmo na base 1/2 precisa ser positivo, pois ele é o argumento do log na base 2. Como a base 1/2 está entre 0 e 1, log1/2 (t) > 0 exige 0 < t < 1.
- Logo x² - x + 1 < 1, ou seja, x² - x < 0, o que equivale a x(x - 1) < 0. Portanto 0 < x < 1.
- Verificando os elementos de A: sqrt(3)/2 ≈ 0,866 está em (0, 1); 7/5 = 1,4 não está; 1/2 = 0,5 está; p ≈ 3,14 não está; p/2 ≈ 1,57 não está.
- Assim, apenas sqrt(3)/2 e 1/2 satisfazem a condição, então são 2 elementos. O gabarito B está correto.
- Por que as outras estão erradas: A (1) ignora um dos dois valores válidos; C (3) inclui um valor maior que 1, como 7/5 ou p/2; D (4) inclui pelo menos dois valores fora do intervalo; E (5) ignora a restrição do logaritmo na base 1/2 e aceita todo o conjunto.
💡 Dica: Analise as condições para que o logaritmo seja definido e real.
Alternativa por alternativa
Quem marca 1 provavelmente considera apenas o valor 1/2 como válido, ou descarta sqrt(3)/2 por achar que ele não está no intervalo (0, 1) por um cálculo aproximado errado.
CORRETA. Apenas dois elementos do conjunto A tornam y real, pois satisfazem as condições de existência dos logaritmos compostos.
Quem marca 3 provavelmente aceita um valor maior que 1, como 7/5 ou p/2, por não ter verificado a desigualdade 0 < x < 1 com cuidado.
Quem marca 4 provavelmente errou o sentido da desigualdade do logaritmo de base 1/2 ou comparou valores fracionários e irracionais de forma incorreta, aceitando alguns elementos fora do intervalo.
Quem marca 5 provavelmente só verificou que x² - x + 1 é sempre positivo e esqueceu a condição de que log1/2 (x² - x + 1) deve ser positivo para o logaritmo externo existir.
Raio-X da questão
logaritmo e dominio
avaliacao
propriedades dos logaritmos · dominio de funcoes
Estude as propriedades e domínio dos logaritmos.
O aluno pode esquecer que o argumento do logaritmo deve ser positivo e que a base deve ser diferente de 1 e positiva.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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