O lado, a altura e a área de um triângulo equilátero inscrito em um círculo formam, nesta ordem, uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O lado, a altura e a área de um triângulo equilátero inscrito em um círculo formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. A área do círculo é igual a (Mackenzie 2011)
- A) 2π
- B) 3√3 π
- C) π
- D) 3π
- E) √3 π
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Seja l o lado do triângulo equilátero. Sua altura é h = l√3/2 e sua área é S = l^2√3/4. Passo 2: Como l, h e S formam, nesta ordem, uma progressão geométrica, vale h^2 = l·S. Passo 3: Substituindo, (l√3/2)^2 = l·(l^2√3/4), ou seja, 3l^2/4 = l^3√3/4. Simplificando por l^2/4, obtém-se 3 = l√3, logo l = 3/√3 = √3. Passo 4: Para um triângulo equilátero inscrito, o raio do círculo circunscrito é R = l/√3 = √3/√3 = 1. Passo 5: A área do círculo é πR^2 = π·1^2 = π, que é a alternativa C, coincidindo com o gabarito oficial. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A (2π) confunde a área com π vezes o diâmetro, que vale 2; B (3√3π) resulta de um erro algébrico ao isolar l; D (3π) aparece se a área do triângulo for tomada como l^2/4, esquecendo o √3; E (√3π) surge se o lado l = √3 for multiplicado por π em vez de se usar o raio ao quadrado.
💡 Dica: Use propriedades de triângulo equilátero e progressão geométrica para relacionar os elementos.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula corretamente o raio, mas usa o diâmetro (2) como se fosse a própria área multiplicada por π, esquecendo que a área depende do quadrado do raio.
O aluno comete um erro algébrico ao isolar o lado a partir de h^2 = l·S, obtendo l = 3√3 em vez de √3, e então propaga esse valor até a área.
CORRETA. Ao relacionar lado, altura e área do triângulo equilátero inscrito e impor a condição de progressão geométrica, chega-se ao raio igual a 1, logo a área do círculo é π.
O aluno escreve a área do triângulo como l^2/4, esquecendo o fator √3 da altura e da área, o que leva a l = 3 e R = √3, resultando em 3π.
O aluno encontra o lado correto, mas usa o valor do lado multiplicado por π como área do círculo, sem elevar o raio ao quadrado.
Raio-X da questão
progressão geométrica e triângulo equilátero
diagnostico
progressão geométrica · propriedades triângulo equilátero
Estude progressão geométrica e propriedades do triângulo equilátero.
Confundir progressão geométrica com progressão aritmética ou aplicar fórmulas incorretamente.
pensamento_critico
abstrato
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