Os pontos (x,y) do plano tais que x² + y² = 36, com x + y = 6, definem uma região de área (Mackenzie 2011)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Os pontos (x,y) do plano tais que x² + y² = 36, com x + y = 6, definem uma região de área (Mackenzie 2011)
- A) 6(π – 2)
- B) 9 – π
- C) 9(π – 2)
- D) 6 – π
- E) 18(π – 2)
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Reconheça a figura. A equação x² + y² = 36 é uma circunferência de centro na origem e raio R = 6. Como o enunciado fala em região, a leitura que bate com o gabarito é a parte do disco x² + y² ≤ 36 situada no semiplano x + y ≥ 6, ou seja, um segmento circular. Passo 2: Encontre a distância da origem à reta x + y = 6. Ela é d = |0 + 0 - 6| / raiz de 2 = 6 / raiz de 2 = 3 raiz de 2. Passo 3: Ache o ângulo central θ do arco cortado pela reta. Como cos(θ/2) = d / R = 3 raiz de 2 / 6 = raiz de 2 / 2, temos θ/2 = π/4, logo θ = π/2 (90 graus). Passo 4: Calcule a área do setor circular de ângulo θ: (R² / 2) · θ = (36 / 2) · (π/2) = 9π. Passo 5: Calcule a área do triângulo formado pelos dois raios e pela corda: (R² / 2) · sen θ = 18 · 1 = 18. Passo 6: A área do segmento é a área do setor menos a do triângulo: 9π - 18 = 9(π - 2), que é a alternativa C. Por que as outras estão erradas: A tem fator multiplicativo errado; B subtrai grandezas de natureza diferente; D mistura um valor de comprimento com uma área; E esquece o fator 1/2 da fórmula do setor circular.
💡 Dica: Use as equações para encontrar a região e calcule a área delimitada.
Alternativa por alternativa
O aluno chega a uma expressão com a forma correta (um termo com π menos um termo algébrico), mas erra o fator multiplicativo, provavelmente por um cálculo de setor ou de triângulo feito com constante trocada.
O aluno subtrai valores que não têm a mesma natureza, como se a área do segmento fosse 9 menos π, sem montar a diferença entre setor e triângulo.
CORRETA. A área da região é obtida calculando o setor circular correspondente ao ângulo formado pela reta x + y = 6 e subtraindo a área do triângulo, resultando em 9(π – 2).
O aluno confunde área com comprimento ou usa um valor de π solto, obtendo 6 menos π, sem aplicar a fórmula de área de setor circular.
O aluno aplica corretamente a diferença entre setor e triângulo, mas esquece o fator 1/2 da fórmula do setor, obtendo 18(π - 2), que é o dobro da resposta.
Raio-X da questão
equações de circunferência e reta
diagnostico
equações do segundo grau · geometria analítica básica
estude sistemas de equações e cálculo de áreas de regiões planas
Confundir a região delimitada pelas equações com apenas os pontos de interseção, não calculando a área corretamente.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog