Assinale, dentre os valores abaixo, um possível valor de x tal que log_{1/4} x > log_4 7. (Mackenzie 2011)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Assinale, dentre os valores abaixo, um possível valor de x tal que log_{1/4} x > log_4 7. (Mackenzie 2011)
- A) 1/14
- B) 14/15
- C) 1/5
- D) √2/2
- E) 3/5
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Resolvendo por conta própria, escrevemos log na base 1/4 de x em termos da base 4. Como 1/4 = 4^(-1), vale log na base 1/4 de x = -log na base 4 de x. A inequação fica -log na base 4 de x > log na base 4 de 7. Passo 2: Passando o termo negativo para o outro lado, temos log na base 4 de x < -log na base 4 de 7, ou seja, log na base 4 de x < log na base 4 de (1/7). Passo 3: A base 4 é maior que 1, logo a função logarítmica é crescente e podemos comparar os logaritmandos diretamente: x < 1/7. Passo 4: Como o logaritmo só existe para x > 0, a solução é 0 < x < 1/7, que é aproximadamente 0 < x < 0,142. Passo 5: Verificando as alternativas, 1/14 (aproximadamente 0,071) está nesse intervalo, então é a resposta correta, em concordância com o gabarito oficial. Passo 6: Por que as outras estão erradas: 14/15, 1/5, √2/2 e 3/5 são todos maiores que 1/7, então não satisfazem a desigualdade.
💡 Dica: Compare os logaritmos transformando as bases para facilitar a comparação.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Ao transformar ambos os logaritmos para a mesma base, percebe-se que para log_{1/4} x > log_4 7, x deve ser menor que 1/7, e 1/14 satisfaz essa condição.
O aluno provavelmente ignorou a inversão causada pela base 1/4 (decrescente) e manteve o sentido de x > 1/7, ou tratou a desigualdade sem considerar o sinal ao trocar de base.
O aluno tratou log na base 1/4 como crescente, como se fosse log na base 4, e por isso obteve x > 1/7 em vez de x < 1/7.
O aluno escreveu 1/4 como 2^(-2) e tentou resolver por potências de 2, mas errou o expoente ou a raiz, chegando a 2^(-1/2), que é √2/2, sem chegar à condição x < 1/7.
O aluno acreditou que qualquer fração positiva menor que 1 serve, sem comparar com o limite de 1/7 obtido pela inequação, o que mostra que não percebeu a direção da desigualdade.
Raio-X da questão
logaritmos e desigualdades
avaliacao
propriedades de logaritmos · desigualdades matemáticas
Estude propriedades de logaritmos e resolução de desigualdades logarítmicas.
Confundir a base do logaritmo e aplicar incorretamente as propriedades de logaritmos com bases diferentes.
pensamento_critico
abstrato
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