A figura representa um bloco com formato de um cubo de aresta a, do qual é retirada uma pirâmide. Se A, B e C…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A figura representa um bloco com formato de um cubo de aresta a, do qual é retirada uma pirâmide. Se A, B e C são pontos médios dos lados do cubo e se o volume da peça restante é igual a 188/3, o valor de a^2 + a é O valor de a^2 + a é (Mackenzie 2010)
- A) 16
- B) 4
- C) 20
- D) 28
- E) 8
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique a peça. O cubo tem aresta a, logo seu volume é a^3. A pirâmide retirada tem como vértice um vértice do cubo e como base o triângulo formado pelos pontos médios A, B e C das três arestas que partem desse vértice. Cada uma dessas arestas tem comprimento a, e a metade vale a/2.
- Calcule o volume da pirâmide. Ela é um tetraedro de catetos iguais a a/2, cujo volume é (1/3) x (área da base) x altura. A base é um triângulo retângulo de catetos a/2, com área (a/2)^2/2 = a^2/8. A altura é a/2. Logo, V = (1/3) x (a^2/8) x (a/2) = a^3/48.
- Monte a equação do volume restante. Volume restante = a^3 - a^3/48 = 47a^3/48. Como esse valor é 188/3, temos 47a^3/48 = 188/3.
- Resolva a equação. Multiplicando por 48, obtemos 47a^3 = 188 x 16 = 3008. Dividindo por 47, a^3 = 64, portanto a = 4.
- Calcule o pedido. a^2 + a = 16 + 4 = 20, que é a alternativa C.
- Verificação. Com a = 4, a^3 = 64 = 192/3, e a pirâmide tem volume 64/48 = 4/3. Então 192/3 - 4/3 = 188/3, o que confirma o dado do enunciado.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A (16) é o valor de a^2 sem somar a; a alternativa B (4) é o valor de a, e a questão pede a^2 + a; a alternativa D (28) decorre de um volume de pirâmide calculado de forma incorreta; a alternativa E (8) decorre de confundir o volume da pirâmide ou o próprio a^3 com outra grandeza.
💡 Dica: Calcule o volume do cubo e da pirâmide para encontrar a aresta a.
Alternativa por alternativa
O aluno encontra a = 4 corretamente, mas calcula apenas a^2 = 16 e esquece de somar o termo a da expressão pedida.
O aluno resolve a equação e para no valor de a = 4, sem calcular a^2 + a, que é o que a questão pede.
CORRETA. Ao calcular corretamente os volumes do cubo e da pirâmide e resolver a equação, obtém-se a^2 + a = 20.
O aluno usa uma fórmula errada para o volume da pirâmide retirada (por exemplo, supondo que ela ocupa uma fração diferente do cubo), o que leva a um valor incorreto para a e, assim, para a^2 + a.
O aluno confunde a^3 com outra grandeza ou aplica a fórmula do volume de forma inadequada, obtendo um valor de a que não corresponde à peça descrita.
Raio-X da questão
volume de sólidos geométricos
diagnostico
volume de cubo · volume de pirâmide
estudo de volume de cubo e pirâmide
Confundir as fórmulas de volume do cubo e da pirâmide ou esquecer que A, B e C são pontos médios.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog