Dada a matriz A = ( cos(x) sen(x) ; sen(x) cos(x) ), o determinante da matriz inversa de A é (Mackenzie 2010)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dada a matriz A = ( cos(x) sen(x) ; sen(x) cos(x) ), o determinante da matriz inversa de A é (Mackenzie 2010)
- A) cossec(2x)
- B) sec(2x)
- C) 1
- D) sen(2x)
- E) cos(2x)
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Calcular o determinante de A. Para uma matriz 2x2 de termos (a b; c d), det = ad - bc. Aqui a = cos(x), b = sen(x), c = sen(x) e d = cos(x), logo det A = cos(x)·cos(x) - sen(x)·sen(x) = cos^2(x) - sen^2(x). Pela identidade do cosseno do arco duplo, cos^2(x) - sen^2(x) = cos(2x). Portanto det A = cos(2x). Passo 2: Usar a propriedade do determinante da inversa. Como A·A^-1 = I (matriz identidade), det(A)·det(A^-1) = det(I) = 1. Logo det(A^-1) = 1/det(A) = 1/cos(2x). Passo 3: Reconhecer a função trigonométrica. O inverso do cosseno é a secante, então 1/cos(2x) = sec(2x). Passo 4: Conferir com o gabarito. A alternativa B, sec(2x), coincide com o resultado obtido, então o gabarito oficial está correto. Passo 5: Justificar por que as outras estão erradas. A) cossec(2x) seria 1/sen(2x), o que exigiria det A = sen(2x), e isso não corresponde ao cálculo feito. C) 1 só valeria se o determinante de A fosse 1 ou se A fosse a identidade, o que não ocorre. D) sen(2x) é o resultado de confundir o determinante com 2 sen(x) cos(x) e também não considera a inversa. E) cos(2x) é o determinante de A, não o de sua inversa.
💡 Dica: Calcule o determinante da matriz e use a propriedade do determinante da inversa.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula det A corretamente como sen(2x) ou troca cos(2x) por sen(2x) e depois inverte, obtendo cossec(2x). Ele confunde a identidade do arco duplo para cosseno com a do seno.
CORRETA. O determinante da matriz A é cos(2x), então o determinante da inversa é 1/cos(2x), que é sec(2x).
O aluno acredita que o determinante da inversa sempre vale 1, talvez por associar a inversa à identidade ou por confundir det(A)·det(A^-1) = 1 com a conclusão de que cada fator vale 1.
O aluno obtém det A = 2 sen(x) cos(x) = sen(2x) (usando a fórmula errada do seno do arco duplo) e esquece de tomar o inverso, respondendo o determinante de A em vez do de A^-1.
O aluno calcula corretamente o determinante de A como cos(2x), mas ignora que a pergunta pede o determinante da matriz inversa, lendo apenas o determinante da matriz original.
Raio-X da questão
determinante matriz inversa
diagnostico
determinante de matriz 2x2 · propriedades da matriz inversa
propriedades do determinante e matriz inversa
Confundir o determinante da matriz com o determinante da inversa, ou esquecer que o determinante da inversa é o inverso do determinante.
pensamento_critico
abstrato
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