Considere as retas (r) 4x + y = 12, (s) y = mx + n, m > 0, e (t) y = 0, que formam, no plano, um triângulo de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere as retas (r) 4x + y = 12, (s) y = mx + n, m > 0, e (t) y = 0, que formam, no plano, um triângulo de área 4. Se s passa pelo ponto (1,0), o seu coeficiente angular é (Mackenzie 2010)
- A) 1/4
- B) 2
- C) 3
- D) 4
- E) 3/4
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A reta t e y = 0 (eixo x). Isolando y em r, obtemos y = 12 - 4x. Ela corta t no ponto (3,0), pois 4x = 12 gives x = 3. Passo 2: Como s passa por (1,0) e tem equação y = mx + n, temos 0 = m + n, logo n = -m e s: y = m(x - 1). Ela corta t exatamente em (1,0). Passo 3: Para achar o terceiro vértice, igualamos as retas r e s: 12 - 4x = mx - m, o que dá x = (12 + m)/(m + 4). Então y = m(x - 1) = 8m/(m + 4). Passo 4: O triângulo tem base sobre o eixo x, entre (1,0) e (3,0), de comprimento 2. Sua altura é a ordenada do vértice de encontro de r e s, isto é, 8m/(m + 4). Passo 5: Área = (base x altura)/2 = (2 x 8m/(m + 4))/2 = 8m/(m + 4). Igualando a 4: 8m = 4m + 16, logo m = 4, que é maior que zero, como exige o enunciado. Passo 6: Conferência: para m = 4, s é y = 4x - 4; cortando r, 12 - 4x = 4x - 4 dá x = 2 e y = 4. O triângulo de vértices (1,0), (3,0) e (2,4) tem área 2 x 4/2 = 4. Passo 7: Assim, a alternativa correta é a D (4), de acordo com o gabarito. A alternativa A (1/4) está errada, pois não corresponde à equação 8m/(m + 4) = 4. A alternativa B (2) está errada, pois para m = 2 a área seria 16/6, que não é 4. A alternativa C (3) está errada, pois para m = 3 a área seria 24/7, que também não é 4. A alternativa E (3/4) está errada, pois para m = 3/4 a área seria 6/(4,75), que não é 4.
💡 Dica: Use a fórmula da área do triângulo e as condições dadas para encontrar m.
Alternativa por alternativa
Provavelmente inverteu a relação ao isolar m, tratando 8m/(m + 4) = 4 como se fosse m/(m + 4) = 4 ou escrevendo 4m = 1, o que leva a m = 1/4.
Provavelmente confundiu o coeficiente angular com a altura do triângulo, tomando a altura igual a m ou ignorando o denominador (m + 4), e assim chegou a m = 2.
Provavelmente tomou o vértice (3,0), que é a interseção de r com t, como ponto pelo qual s passa, em vez de usar (1,0) dado no enunciado.
CORRETA. Ao determinar as interseções das retas, montar a expressão da área do triângulo e igualar a 4, chega-se a m = 4 como coeficiente angular da reta s.
Provavelmente errou a álgebra ao distribuir o 4 na equação 8m = 4(m + 4) ou cometeu erro de sinal ao isolar m, chegando a m = 3/4.
Raio-X da questão
equacoes de retas e area triangulo
diagnostico
equacoes de retas no plano · area de triangulos no plano
estude equacoes de retas e calculo de area de triangulos no plano cartesiano
Confundir a fórmula da área do triângulo ou esquecer a condição do ponto na reta s.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog