Se a, b e c são as raízes do polinômio p(x) = x³ - 5x² + 2x + 8 , tais que a = -2bc , o valor de a/b + a/c é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se a, b e c são as raízes do polinômio p(x) = x³ - 5x² + 2x + 8 , tais que a = -2bc , o valor de a/b + a/c é (Mackenzie 2010)
- A) 2
- B) 1/2
- C) -2
- D) 3
- E) -1/4
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Pelas Relações de Girard para p(x) = x³ - 5x² + 2x + 8, temos a + b + c = 5, ab + bc + ca = 2 e abc = -8. Passo 2: Como a = -2bc, então bc = -a/2. Substituindo em abc = -8, obtemos a·(-a/2) = -8, ou seja, a² = 16, logo a = 4 ou a = -4. Passo 3: Se a = -4, then bc = 2 e b + c = 9, o que daria ab + bc + ca = -4·9 + 2 = -34, diferente de 2; portanto esse caso é descartado. Passo 4: Com a = 4, temos bc = -2 e b + c = 1. Verificação: ab + bc + ca = 4·1 + (-2) = 2, confirmando o caso. As raízes de t² - t - 2 = 0 são 2 e -1, então {b, c} = {2, -1} e as raízes são 4, 2 e -1 (produto 4·2·(-1) = -8, correto). Passo 5: Calculando a expressão, a/b + a/c = a(b + c)/(bc) = 4·1/(-2) = -2. Passo 6: Conferindo pela forma geral, b + c = 5 - a e bc = -a/2, logo a/b + a/c = a(5 - a)/(-a/2) = 2a - 10 = -2 para a = 4. Passo 7: A alternativa correta é C) -2, coincidindo com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A) 2 ignora o sinal negativo de bc; B) 1/2 inverte a razão e perde o sinal; D) 3 não corresponde a nenhuma das raízes válidas; E) -1/4 confunde a expressão pedida com (b + c)/a.
💡 Dica: Use relações entre raízes e coeficientes do polinômio para encontrar a/b + a/c.
Alternativa por alternativa
Provavelmente tomou bc = 2 (sinal positivo) ao usar a = -2bc, ou ignorou o sinal negativo da fração, obtendo 4·1/2 = 2.
Inverteu a razão, calculando bc/(a(b+c)) ou algo equivalente, e ainda perdeu o sinal negativo de bc = -2.
CORRETA. Ao aplicar as relações de Girard e a condição a = -2bc, chega-se ao valor de a/b + a/c = -2.
Errou os valores de a, b e c na resolução do sistema de Relações de Girard, por exemplo usando b + c = 5 sem descontar a, o que leva a um resultado que não corresponde às raízes reais do polinômio.
Confundiu a expressão a/b + a/c com o quociente (b + c)/a, obtendo 1/4 e, com sinal trocado, -1/4.
Raio-X da questão
raízes de polinômios e relações algébricas
avaliacao
raízes de polinômios · relações entre coeficientes e raízes
Estude propriedades das raízes e relações de coeficientes em polinômios cúbicos.
Confundir as relações entre as raízes e os coeficientes do polinômio, ou não aplicar corretamente a condição dada para a.
pensamento_critico
abstrato
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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