Se y = 2x, sendo x = (1 + i) / (1 - i) e i = v-1 , o valor de (x + y)² é (Mackenzie 2010)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se y = 2x, sendo x = (1 + i) / (1 - i) e i = v-1 , o valor de (x + y)² é (Mackenzie 2010)
- A) 9i
- B) -9 + i
- C) -9
- D) 9
- E) 9 - i
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Calcular x = (1 + i)/(1 - i). Para eliminar i do denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é (1 + i). No numerador, (1 + i)(1 + i) = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i. No denominador, (1 - i)(1 + i) = 1 - i^2 = 1 + 1 = 2. Logo x = 2i/2 = i.
- Calcular y. Como y = 2x, temos y = 2i.
- Calcular x + y = i + 2i = 3i.
- Calcular (x + y)^2 = (3i)^2 = 9 * i^2 = 9 * (-1) = -9. Portanto a alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 9i não é real, pois o quadrado de 3i não pode manter o i, já que i^2 = -1. B) -9 + i tem parte imaginária, mas (3i)^2 é um número real puro. D) 9 ignora o sinal de i^2, que vale -1 e não 1. E) 9 - i mistura um resultado positivo com uma parte imaginária que não existe nesse cálculo.
- Observação: o resultado final é real e negativo, consistente com (3i)^2 = -9.
💡 Dica: Calcule x usando a definição de i e depois encontre (x + y)².
Alternativa por alternativa
O aluno calcula (3i)^2 como 9i, tratando o quadrado apenas como multiplicação do coeficiente e mantendo a unidade imaginária sem aplicar i^2 = -1.
O aluno erra o desenvolvimento do quadrado, deixando um termo imaginário residual de i após a elevação ao quadrado, em vez de tratar (3i)^2 como um número real.
CORRETA. Após racionalizar x = i, y = 2i, então x + y = 3i; (3i)^2 = 9i^2 = -9.
O aluno considera i^2 = 1, esquecendo que a unidade imaginária tem quadrado igual a -1, e por isso obtém sinal positivo.
O aluno interpreta mal o enunciado ou a relação entre x e y, misturando termos e chegando a uma parte imaginária que não corresponde a (x + y)^2.
Raio-X da questão
números complexos e operações
avaliacao
operações com números complexos · potenciação de expressões algébricas
Estude operações com números complexos e propriedades de potências.
Confundir a definição de i ou errar a simplificação da fração complexa.
tomada_decisao
abstrato
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