Se cos 15°, cos(a) e cos 75° formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, o valor de cos(a) é (Mackenzie…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se cos 15°, cos(a) e cos 75° formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, o valor de cos(a) é (Mackenzie 2010)
- A) √2 / 3
- B) √6 / 3
- C) √3 / 4
- D) √6 / 4
- E) √2 / 4
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Como cos 15°, cos a e cos 75° estão em progressão aritmética nessa ordem, o termo do meio é a média dos extremos. Logo, 2 cos a = cos 15° + cos 75°. Passo 2: Para calcular a soma cos 15° + cos 75°, use a fórmula de soma de cossenos: cos p + cos q = 2 cos((p+q)/2) cos((p-q)/2). Com p = 75° e q = 15°, temos (p+q)/2 = 45° e (p-q)/2 = 30°. Assim, cos 15° + cos 75° = 2 cos 45° cos 30°. Passo 3: Substitua os valores conhecidos: cos 45° = raiz de 2 sobre 2 e cos 30° = raiz de 3 sobre 2. Então 2 cos 45° cos 30° = 2 · (raiz de 2 / 2) · (raiz de 3 / 2) = raiz de 6 sobre 2. Passo 4: Substitua na condição da progressão: 2 cos a = raiz de 6 sobre 2, logo cos a = raiz de 6 sobre 4. Passo 5: Conferência numérica: cos 15° ≈ 0,966 e cos 75° ≈ 0,259, cuja média é ≈ 0,612, que coincide com raiz de 6 sobre 4 ≈ 0,612. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a letra A (raiz de 2 sobre 3) não corresponde a nenhuma média correta dos extremos; a letra B (raiz de 6 sobre 3) tem valor maior que a média real; a letra C (raiz de 3 sobre 4) corresponde a cos 30° dividido por 2, o que não respeita a soma correta; a letra E (raiz de 2 sobre 4) equivale a cos 45° dividido por 2, o que ignora o fator cos 30°. Passo 7: Portanto, a resposta correta é a alternativa D, em concordância com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a propriedade da progressão aritmética para encontrar cos(a).
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente não montou corretamente a condição de progressão aritmética ou fez uma estimativa sem aplicar a soma de cossenos, chegando a um valor que não é a média dos extremos.
O aluno chegou a raiz de 6 sobre 2 na soma, mas errou ao isolar cos a, dividindo pelo fator errado (3 em vez de 2 ou 4), e obteve um valor maior que a média real.
O aluno aplicou mal a fórmula de soma de cossenos, tratando cos 15° + cos 75° como se fosse cos 30° (raiz de 3 sobre 2) e depois dividiu por 2, perdendo o fator cos 45°.
CORRETA. Ao calcular cos 15° = (√6 + √2)/4 e cos 75° = (√6 - √2)/4, o termo médio da progressão aritmética é (cos 15° + cos 75°)/2 = √6/4.
O aluno considerou que a soma cos 15° + cos 75° valia apenas cos 45° (raiz de 2 sobre 2) e depois dividiu por 2, esquecendo o fator cos 30° do produto.
Raio-X da questão
progressão aritmética e cosseno
avaliacao
função cosseno · progressão aritmética
Estude progressão aritmética e propriedades do cosseno.
Confundir progressão aritmética com progressão geométrica ou erro no cálculo do termo médio.
pensamento_critico
abstrato
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