Considerando 0 < x < 3p/2, o número de soluções da equação det( log(tg(x)) log(cotg(x)) 1 1 ) = 0 é (Mackenzie…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considerando 0 < x < 3p/2, o número de soluções da equação det( log(tg(x)) log(cotg(x)) 1 1 ) = 0 é (Mackenzie 2010)
- A) 2
- B) 3
- C) 0
- D) 1
- E) 4
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcule o determinante da matriz [[log(tg x), log(cotg x)], [1, 1]]. O determinante e igual a log(tg x) * 1 - log(cotg x) * 1 = log(tg x) - log(cotg x). Passo 2: Como cotg x = 1/tg x, vale log(cotg x) = log(1/tg x) = -log(tg x). Passo 3: Substituindo, a equacao fica log(tg x) + log(tg x) = 0, ou seja, 2 * log(tg x) = 0, logo log(tg x) = 0 e tg x = 1. Passo 4: Os logaritmos so existem para valores positivos, entao e preciso tg x > 0 e cotg x > 0. Para tg x = 1 essa condicao ja e satisfeita. Passo 5: No intervalo 0 < x < 3pi/2, tg x = 1 tem duas solucoes: x = pi/4, no primeiro quadrante, e x = 5pi/4, no terceiro quadrante. Ambas sao validas, pois nao sao os pontos pi/2, pi ou 3pi/2, onde tangente ou cotangente nao estao definidas. Passo 6: Portanto a equacao tem 2 solucoes, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estao erradas: B (3) inclui uma solucao a mais que nao satisfaz a equacao; C (0) ignora que a equacao tem solucao; D (1) esquece uma das duas solucoes; E (4) considera tg x = -1, que nao e aceita por causa da condicao de positividade do logaritmo.
💡 Dica: Calcule o determinante e analise as soluções no intervalo dado.
Alternativa por alternativa
CORRETA. O determinante é zero quando log(tg(x)) - log(cotg(x)) = 0, ou seja, quando tg(x) = cotg(x), o que ocorre para dois valores de x no intervalo dado.
Provavelmente incluiu um valor extra, como x = pi/2 ou x = pi, pensando que nos pontos em que a tangente se anula ou nao esta definida o determinante ainda pode ser zero, ou contou erroneamente as solucoes no intervalo.
Provavelmente achou que log(tg x) e log(cotg x) nunca podem se igualar, por pensar que sao logaritmos de valores inversos e, portanto, sempre diferentes, e concluiu que nao ha solucao.
Provavelmente restringiu a busca ao primeiro quadrante (0 < x < pi/2), encontrando apenas x = pi/4 e esquecendo que tg x = 1 tambem vale em x = 5pi/4, dentro do intervalo dado.
Provavelmente considerou tg x = -1 como solucao, ignorando que o logaritmo de tg x exige tg x > 0, e assim contou x = 3pi/4 e x = 7pi/4 alem das solucoes validas.
Raio-X da questão
equação trigonométrica determinante
avaliacao
funções trigonométricas básicas · propriedades de logaritmos
Revisar propriedades de logaritmos e funções trigonométricas
Confundir as definições de tg e cotg ou esquecer restrições do domínio da função logaritmo.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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