Para que o produto dos termos da sequência (1, v3, v3^2, v3^3, v3^4, ..., v3^{n–1}) seja 3^{14}, deverão ser…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para que o produto dos termos da sequência (1, v3, v3^2, v3^3, v3^4, ..., v3^{n–1}) seja 3^{14}, deverão ser considerados, nessa sequência, (Mackenzie 2010)
- A) 8 termos.
- B) 6 termos.
- C) 10 termos.
- D) 9 termos.
- E) 7 termos.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Escreva cada termo como potência de 3. O primeiro termo é 1 = 3^0, o segundo é raiz de 3 = 3^(1/2), o terceiro é 3^2 elevado a 1/2... ou seja, 3^(2/2) = 3^1, e assim por diante. Em geral, o termo de ordem k (com k começando em 0) é 3^(k/2), e a sequência tem n termos, com k indo de 0 até n–1.
- Multiplique os n primeiros termos. Ao multiplicar potências de mesma base, somam-se os expoentes. A soma dos expoentes é (0 + 1 + 2 + ... + (n–1))/2 = [n(n–1)/2]/2 = n(n–1)/4.
- Iguale ao expoente pedido: n(n–1)/4 = 14, o que dá n(n–1) = 56. Testando, 8 × 7 = 56, logo n = 8. Não há outro inteiro positivo que satisfaça a equação, pois 7 × 6 = 42 e 9 × 8 = 72.
- Conclusão: devem ser considerados 8 termos, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: B (6 termos) gera produto de expoente 6 × 5/4 = 7,5, insuficiente; C (10 termos) gera 10 × 9/4 = 22,5, excessivo; D (9 termos) gera 9 × 8/4 = 18, excessivo; E (7 termos) gera 7 × 6/4 = 10,5, insuficiente.
💡 Dica: Calcule o produto dos termos usando propriedades de potências.
Alternativa por alternativa
CORRETA. O produto dos termos é igual a 3^{0 + 1/2 + 2/2 + ... + (n-1)/2} = 3^{[n(n-1)]/4}. Igualando a 3^{14}, temos n(n-1)/4 = 14, logo n(n-1) = 56. n = 8 é a única solução natural.
O aluno provavelmente esquece o fator 1/2 dos expoentes e soma apenas k, obtendo n(n–1)/2 = 14, equação sem solução inteira; ao aproximar, chega a 6 termos (6 × 5/2 = 15).
O aluno aplica a fórmula corretamente em parte, mas erra o cálculo ao testar valores, ou confunde o produto com uma soma de expoentes maior, levando a 10 termos, que daria expoente 22,5.
O aluno confunde o número de termos com o expoente do último termo ou faz a conta com n(n–1) errado, chegando a 9 termos, que dá expoente 18 e não 14.
O aluno usa a soma 0 + 1 + ... + n, incluindo o termo a mais, ou seja n(n+1)/4 = 14, o que dá n = 7. Trata-se de erro de limite do somatório, pois a sequência tem n termos e não n+1.
Raio-X da questão
produto de potências sequenciais
diagnostico
potências e radiciação · progressão geométrica
estude propriedades de potências e progressões geométricas
Confundir a soma dos expoentes com o produto ou esquecer a propriedade das potências na multiplicação.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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