Considere a função f tal que para todo x real tem-se f(x + 2) = 3f(x) + 2^x. Se f(–3) = 1/4 e f(–1) = a, então…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere a função f tal que para todo x real tem-se f(x + 2) = 3f(x) + 2^x. Se f(–3) = 1/4 e f(–1) = a, então o valor de a^2 é (Mackenzie 2010)
- A) 25/36
- B) 36/49
- C) 64/100
- D) 16/81
- E) 49/64
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identificar a relação dada. A função satisfaz f(x + 2) = 3f(x) + 2^x para todo x real. Queremos f(-1), e -1 = -3 + 2, então basta usar x = -3 nessa relação. Passo 2: Substituir x = -3. Obtemos f(-3 + 2) = 3f(-3) + 2^(-3), ou seja, f(-1) = 3f(-3) + 2^(-3). Passo 3: Calcular cada termo. Como f(-3) = 1/4, temos 3f(-3) = 3/4. Além disso, 2^(-3) = 1/2^3 = 1/8. Passo 4: Somar os termos. f(-1) = 3/4 + 1/8 = 6/8 + 1/8 = 7/8. Logo a = 7/8. Passo 5: Calcular a^2 = (7/8)^2 = 49/64, que é a alternativa E, igual ao gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A) 25/36 corresponde a a = 5/6, o que daria 3/4 + 1/12 e não 3/4 + 1/8. B) 36/49 corresponde a a = 6/7, valor que não sai de nenhum passo correto da substituição. C) 64/100 corresponde a a = 4/5, resultado de erro na avaliação de 2^(-3). D) 16/81 corresponde a a = 4/9, que não resulta da relação dada com f(-3) = 1/4.
💡 Dica: Use a relação dada para encontrar f(-1) e calcule a^2.
Alternativa por alternativa
Calculou 2^(-3) de forma errada, somando 1/12 em vez de 1/8 à parcela 3/4, o que leva a a = 5/6.
Errou na substituição da relação ou na soma dos termos, chegando a a = 6/7 sem respeitar a estrutura f(x + 2) = 3f(x) + 2^x.
Interpretou mal o termo 2^x com x negativo, avaliando 2^(-3) de forma incorreta e obtendo a = 4/5.
Não compreendeu que f(-1) depende de f(-3) pela relação com passo 2 e tratou a relação como se o fator 3 fosse divisor, chegando a a = 4/9.
CORRETA. Ao resolver a equação funcional e substituir os valores dados, encontra-se que a = 7/8, logo a^2 = 49/64.
Raio-X da questão
função recursiva e cálculo de potência
avaliacao
função real de variável real · propriedades de potências
estude funções recursivas e propriedades de potências
Confundir a relação funcional e não aplicar corretamente a substituição para encontrar f(-1).
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog