Dadas as matrizes A = (a_ij)_{3x3} tal que { a_ij = 10, se i = j; a_ij = 0, se i ? j } e B = (b_ij)_{3x3} tal…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dadas as matrizes A = (a_ij)_{3x3} tal que { a_ij = 10, se i = j; a_ij = 0, se i ? j } e B = (b_ij)_{3x3} tal que { b_ij = 3, se i = j; b_ij = 0, se i ? j }, o valor de det(AB) é (Mackenzie 2010)
- A) 27 x 10³
- B) 9 x 10³
- C) 27 x 10²
- D) 3² x 10²
- E) 27 x 10⁴
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A matriz A é diagonal, com 10 em todas as posições i = j e 0 fora da diagonal, logo A = 10·I3, em que I3 é a matriz identidade 3x3. Passo 2: Do mesmo modo, B é diagonal com 3 na diagonal, logo B = 3·I3. (O símbolo '?' no enunciado está no lugar de '≠', ou seja, os elementos fora da diagonal são zero.) Passo 3: O produto de matrizes diagonais multiplica as diagonais correspondentes, então AB = 30·I3. Passo 4: Para uma matriz k·I_n, o determinante é k^n. Aqui n = 3 e k = 30, então det(AB) = 30^3 = 27000. Passo 5: Escrevendo 27000 na forma pedida, 27000 = 27 x 10^3, que é a alternativa A, gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B resulta de 9 x 10^3 = 9000, que corresponde a 3^2 vezes 10^3, um valor que não é o determinante de 30·I3; C vale 2700, que tem a potência de 10 errada para 27; D vale 900, que é 3^2 x 10^2 e não corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo; E vale 270000, que tem potência de 10 maior que a correta.
💡 Dica: Use propriedades do determinante e da multiplicação de matrizes para calcular det(AB).
Alternativa por alternativa
CORRETA. O determinante de A é 10³ = 1000, o de B é 3³ = 27, e det(AB) = det(A) × det(B) = 27 × 1000 = 27 × 10³.
Provavelmente elevou ao quadrado em vez de ao cubo, calculando (3·3)·10^3 como se o determinante de uma matriz 3x3 diagonal fosse o produto de apenas dois elementos.
Calculou corretamente 27 como parte do resultado, mas errou a potência de 10, escrevendo 10^2 em vez de 10^3 ao converter 30^3 = 27000.
Tratou o determinante de uma matriz 3x3 como se fosse de ordem 2, usando expoente 2 para o fator 3 e expoente 2 para a potência de 10, o que mostra confusão sobre a regra det(k·I_n) = k^n.
Escreveu 27000 como 27 x 10^4, contando errado o número de zeros ao converter para a notação científica pedida.
Raio-X da questão
determinante de matrizes
avaliacao
multiplicação de matrizes · propriedades do determinante
Estude propriedades do determinante e multiplicação de matrizes.
Confundir a propriedade det(AB) = det(A) * det(B) ou calcular errado o determinante das matrizes A e B.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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