Considerando a solução (x, y) do sistema { log4 x + log2 y = 5 ; log2 x - log4 y = 0 }, com x ? 1, o valor de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considerando a solução (x, y) do sistema { log4 x + log2 y = 5 ; log2 x - log4 y = 0 }, com x ? 1, o valor de log?(x/y) é (Mackenzie 2010)
- A) 1
- B) 4
- C) −1
- D) 1/2
- E) 1/4
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Use a substituição a = log de base 2 de x e b = log de base 2 de y. Como log de base 4 de x = (log de base 2 de x)/2, as equações ficam: a/2 + b = 5 (ou seja, a + 2b = 10) e a - b/2 = 0 (ou seja, a = b/2).
- Na segunda equação, a = b/2. Substituindo na primeira: b/2 + 2b = 10, logo 5b/2 = 10 e b = 4. Então a = 2.
- Como a = log de base 2 de x = 2, temos x = 2^2 = 4. Como b = log de base 2 de y = 4, temos y = 2^4 = 16.
- Verificação: log de base 4 de 4 = 1 e log de base 2 de 16 = 4, e 1 + 4 = 5. Também log de base 2 de 4 = 2 e log de base 4 de 16 = 2, e 2 - 2 = 0. Ambas as equações são satisfeitas, com x = 4 (diferente de 1, como exige o enunciado).
- Calcule x/y = 4/16 = 1/4. Pela alternativa correta C, o logaritmo pedido é o de base 4: log de base 4 de 1/4 = -1, pois 4^(-1) = 1/4.
- Por que as outras estão erradas. A (1) corresponderia ao logaritmo de y/x = 4, e não de x/y. B (4) é o valor de log de base 2 de y, que é um resultado intermediário, e não o logaritmo pedido. D (1/2) resulta de tomar a raiz quadrada de 1/4 ou de dividir o expoente por 2 de forma indevida. E (1/4) é o próprio quociente x/y, sem aplicar o logaritmo.
💡 Dica: Use propriedades dos logaritmos para transformar e resolver o sistema.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente inverte o quociente e calcula o logaritmo de y/x = 4, ou confunde log de x/y com log de y/x, chegando a 1 por engano na ordem da divisão.
O aluno pode ter parado no valor de log de base 2 de y = 4 e tomado esse número como resposta, sem calcular o logaritmo do quociente x/y pedido no enunciado.
CORRETA. Ao resolver o sistema e aplicar as propriedades dos logaritmos, chega-se ao valor -1 para logₓ(x/y).
O aluno pode ter calculado a raiz quadrada de 1/4 (ou dividido indevidamente o expoente por 2), obtendo 1/2 em vez de -1, por aplicar mal a propriedade de mudança de base ou de potência.
O aluno calcula corretamente x/y = 1/4 e, em seguida, responde com esse valor, esquecendo de tomar o logaritmo pedido pelo enunciado.
Raio-X da questão
logaritmos e sistemas
avaliacao
propriedades dos logaritmos · resolução de sistemas lineares
Estude propriedades dos logaritmos e resolução de sistemas lineares.
Confundir bases dos logaritmos ou aplicar incorretamente as propriedades logarítmicas.
pensamento_critico
abstrato
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