Sejam as funções f(x) = log4x e g(x) = sen(x), com 0 < x < p. Um possível valor de x tal que f(g(x)) = -1/2 é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sejam as funções f(x) = log4x e g(x) = sen(x), com 0 < x < p. Um possível valor de x tal que f(g(x)) = -1/2 é (Mackenzie 2009)
- A) π/2
- B) 2π/3
- C) 5π/6
- D) π/4
- E) 1
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- A função composta é f(g(x)) = log_4(sen x), pois f aplica o logaritmo de base 4 ao valor de g(x) = sen x. Passo 2: Impomos f(g(x)) = -1/2, ou seja, log_4(sen x) = -1/2. Passo 3: Pela definição de logaritmo, sen x = 4^(-1/2). Como 4^(-1/2) = 1/raiz de 4 = 1/2, temos sen x = 1/2. Passo 4: Com 0 < x < pi, o seno vale 1/2 em x = pi/6 (1º quadrante) e em x = 5pi/6 (2º quadrante, pois sen(pi - t) = sen t). Passo 5: Entre as alternativas, apenas 5pi/6 aparece entre as soluções, e a alternativa C está correta. Verificação: sen(5pi/6) = sen(pi/6) = 1/2, logo log_4(1/2) = -1/2. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A) sen(pi/2) = 1 e log_4(1) = 0, não -1/2. B) sen(2pi/3) = raiz de 3 sobre 2, que não é 1/2. D) sen(pi/4) = raiz de 2 sobre 2, que não é 1/2. E) x = 1 radiano dá sen(1) aproximadamente 0,84, diferente de 1/2. Passo 7: O gabarito oficial C está correto.
💡 Dica: Calcule g(x) e depois encontre x que satisfaça f(g(x)) = -1/2.
Alternativa por alternativa
Escolheu pi/2 por achar que o ângulo de maior destaque no seno (onde sen vale 1) seria a solução, sem substituir o valor na equação. Não percebeu que log_4(1) = 0, e não -1/2.
Supôs que sen(2pi/3) vale 1/2, possivelmente confundindo com cos(pi/3) = 1/2. Não lembrou que, no 2º quadrante, o seno é raiz de 3 sobre 2.
CORRETA. Para x = 5π/6, sen(5π/6) = 1/2, então f(g(x)) = log₄(1/2) = log₄(2^{-1}) = -1/2.
Acreditou que sen(pi/4) = 1/2 ou que 4^(-1/2) equivale a raiz de 2 sobre 2, confundindo o expoente -1/2 com a raiz de 2. O cálculo correto de 4^(-1/2) é 1/2.
Tratou x = 1 como solução porque f(1) = log_4(1) = 0 parece 'simples', sem verificar se sen(1) vale 1/2. Ignorou que x é um ângulo em radianos e que o seno de 1 radiano é aproximadamente 0,84.
Raio-X da questão
funcoes compostas e logaritmo
diagnostico
logaritmos e suas propriedades · funcoes trigonométricas basicas
estude composicao de funcoes e propriedades de logaritmos
Confundir a ordem da composicao ou nao aplicar corretamente a definicao do logaritmo base 4.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog