Se as raízes do polinômio p(x) = x³ + (13/18)x² + (13/108)x + m estão em uma progressão geométrica de razão…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se as raízes do polinômio p(x) = x³ + (13/18)x² + (13/108)x + m estão em uma progressão geométrica de razão 1/3, o valor de m é (Mackenzie 2009)
- A) −13/243
- B) 1/204
- C) 13/216
- D) −1/243
- E) 1/216
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Chame as raízes de a, a/3 e a/9, pois a razão da progressão geométrica é 1/3. Pelas Relações de Girard, a soma das raízes é igual a -13/18 (coeficiente de x² com sinal trocado). Logo, a(1 + 1/3 + 1/9) = -13/18, ou seja, a(13/9) = -13/18, e portanto a = -1/2.
- As raízes são -1/2, -1/6 e -1/18.
- Confira a soma dos produtos das raízes dois a dois: (-1/2)(-1/6) + (-1/2)(-1/18) + (-1/6)(-1/18) = 1/12 + 1/36 + 1/108 = 9/108 + 3/108 + 1/108 = 13/108. Isso bate com o coeficiente de x, o que confirma as raízes.
- Pela relação de Girard para o termo independente, o produto das raízes é igual a -m. O produto é (-1/2)(-1/6)(-1/18) = -1/216. Logo, -m = -1/216 e m = 1/216.
- A alternativa E está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque o valor -13/243 não corresponde ao produto das raízes. A alternativa B está errada porque 1/204 não é o produto correto. A alternativa C está errada porque 13/216 mistura o numerador da soma dos produtos com o produto correto. A alternativa D está errada porque o sinal e o denominador não correspondem ao produto das raízes.
💡 Dica: Use as propriedades das raízes e a progressão geométrica para montar equações e encontrar m.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente achou corretamente as raízes, mas tratou o termo independente com o sinal ou o valor errados, substituindo o produto das raízes por um número com numerador 13 e denominador 243.
O aluno provavelmente cometeu um erro de cálculo ao multiplicar as frações das raízes, por exemplo ao calcular 2·6·18 como 204 em vez de 216.
O aluno provavelmente usou o numerador 13 do coeficiente da soma ou da soma dos produtos e o combinou com o denominador 216 do produto das raízes, sem aplicar corretamente a relação de Girard.
O aluno provavelmente errou a potência de 3 no denominador, usando 243 = 3^5 em vez de 216 = 6^3, o que indica um erro na multiplicação dos denominadores das raízes.
CORRETA. Ao representar as raízes como (a, a/3, a/9) e aplicar as relações de Girard, encontra-se m = 1/216.
Raio-X da questão
raízes de polinômio, progressão geométrica
avaliacao
raízes de polinômios · progressão geométrica
estude propriedades das raízes de polinômios e progressão geométrica
Confundir progressão geométrica com progressão aritmética ou não aplicar corretamente as relações entre coeficientes e raízes.
pensamento_critico
abstrato
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