Para n números a1, a2, ..., a?, definimos sua média aritmética por (a1 + a2 + ... + a?)/n e sua média…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para n números a1, a2, ..., a?, definimos sua média aritmética por (a1 + a2 + ... + a?)/n e sua média geométrica por nv(a1·a2·...·a?). Se a média aritmética entre dois números é 30 e a geométrica é 18, então o módulo da diferença entre esses números é (Mackenzie 2009)
- A) 45
- B) 60
- C) 50
- D) 48
- E) 52
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Chame os dois números de a e b. A média aritmética é (a+b)/2 = 30, logo a+b = 60.
- A média geométrica é raiz de (ab) = 18, logo ab = 18^2 = 324.
- Queremos o módulo de a-b. Use a identidade (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 60^2 - 4·324 = 3600 - 1296 = 2304.
- Assim, |a-b| = raiz de 2304 = 48. Como 48^2 = 2304, a resposta é 48, alternativa D.
- Conferência: os números são as raízes de x^2 - 60x + 324 = 0, isto é, x = 30 ± raiz de (900 - 324) = 30 ± 24, ou seja, 54 e 6. Verificando: (54+6)/2 = 30 e raiz de (54·6) = raiz de 324 = 18. A diferença é 54 - 6 = 48.
- Por que as outras estão erradas: A (45) e E (52) não aparecem como raiz de 2304; B (60) é apenas a soma dos números, não a diferença; C (50) não corresponde ao cálculo correto de (a+b)^2 - 4ab.
- O gabarito D está correto.
💡 Dica: Use as fórmulas das médias aritmética e geométrica para montar equações e resolver.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou no cálculo da diferença ao trabalhar com a+b e ab, chegando a um valor que não é a raiz de 2304.
O aluno encontrou a soma dos números (a+b = 60) e a tomou como resposta, esquecendo que a questão pede o módulo da diferença.
O aluno provavelmente errou a subtração 3600 - 1296 ou a extração da raiz quadrada, sem conferir o resultado elevando ao quadrado.
CORRETA. Ao montar o sistema com média aritmética 30 (x + y = 60) e média geométrica 18 (xy = 324), resolvendo a equação do 2º grau, as raízes são 54 e 6, cuja diferença em módulo é 48.
O aluno provavelmente errou a multiplicação 4·324 ou a subtração na identidade (a+b)^2 - 4ab, obtendo um valor de quadrado que não corresponde a 2304.
Raio-X da questão
média aritmética e geométrica
avaliacao
operações com números reais · equações do segundo grau
Estude as definições e propriedades das médias aritmética e geométrica.
Confundir as fórmulas das médias ou não aplicar corretamente a relação entre elas para encontrar a diferença.
pensamento_critico
abstrato
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