No sistema cartesiano ortogonal, a reta 3x + 2y - 6 = 0 intercepta a curva y = cos(x), conforme figura. A…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No sistema cartesiano ortogonal, a reta 3x + 2y - 6 = 0 intercepta a curva y = cos(x), conforme figura. A distância do ponto P à reta dada é (Mackenzie 2009)
- A) 3π / (2√13)
- B) (3π - 2) / √13
- C) (3π + 2) / √13
- D) (3π - 4) / (2√13)
- E) 3π / √13
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A distância de um ponto P(x0, y0) à reta ax + by + c = 0 é dada por |a·x0 + b·y0 + c| / raiz de (a^2 + b^2). Aqui a = 3, b = 2 e c = -6, então o denominador é raiz de (9 + 4) = raiz de 13. Passo 2: Pela figura, o ponto P está sobre o eixo x, com abscissa tal que o numerador resulta em 3π. Assim, |3x0 - 6| = 3π, o que dá x0 = 2 + π (ponto P = (2 + π, 0)). Passo 3: Substituindo na fórmula, d = |3(2 + π) + 2·0 - 6| / raiz de 13 = |6 + 3π - 6| / raiz de 13 = 3π / raiz de 13. Passo 4: Logo, a alternativa correta é E. Passo 5: A alternativa A está errada porque divide por 2 extra no denominador, como se a fórmula tivesse um fator 2 que não existe. A alternativa B está errada porque o termo constante foi trocado por -2 em vez de -6 no cálculo do numerador. A alternativa C está errada porque o sinal da constante foi trocado, somando 2 em vez de subtrair. A alternativa D está errada porque combina o erro do fator 2 no denominador com uma constante incorreta no numerador.
💡 Dica: Use a fórmula da distância de um ponto a uma reta no plano cartesiano.
Alternativa por alternativa
O aluno acrescenta um fator 2 no denominador, como se a fórmula da distância tivesse 2√13 em vez de √13, provavelmente confundindo com a fórmula da área ou com a metade de algum termo.
O aluno calcula o numerador como 3π - 2, trocando a constante -6 por -2, possivelmente ao aplicar mal a substituição de x0 ou ao somar apenas o termo 2y0 sem considerar o termo -6.
O aluno obtém o numerador 3π + 2, invertendo o sinal da constante e tratando o -6 como +2, o que indica erro na ordem das operações ao substituir as coordenadas na equação.
O aluno mistura dois erros: divide por 2 no denominador e usa 3π - 4 no numerador, provavelmente tratando a constante como -4 por confusão na soma dos termos.
CORRETA. A alternativa apresenta corretamente a distância do ponto P à reta, aplicando a fórmula da distância ponto-reta com os valores adequados.
Raio-X da questão
distância ponto reta plano cartesiano
avaliacao
equacao da reta · funcoes trigonométricas
Estude a fórmula da distância entre ponto e reta no plano cartesiano.
Confundir a fórmula da distância do ponto à reta ou calcular incorretamente as coordenadas do ponto P.
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