Na figura, tg ß é igual a (Mackenzie 2009)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na figura, tg ß é igual a (Mackenzie 2009)
- A) 16/81
- B) 8/27
- C) 19/63
- D) 2/3
- E) 1/4
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Lembre que, em um triângulo retângulo, tg de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. Na figura, o ângulo β aparece em um triângulo cujos catetos são obtidos por sucessivas construções de triângulos semelhantes. Passo 2: Os segmentos da figura formam uma cadeia de triângulos semelhantes, em que cada etapa reduz as medidas pela mesma razão 2/3. Passo 3: Como a tangente depende da razão entre dois catetos, a proporção de cada etapa se multiplica. Após quatro etapas, a razão final entre os catetos é (2/3) elevado a 4, isto é, 2^4/3^4 = 16/81. Passo 4: Portanto tg β = 16/81, alternativa A. Passo 5: A alternativa B (8/27) corresponde a (2/3) elevado a 3, ou seja, só três etapas foram consideradas. A alternativa C (19/63) não resulta de nenhuma composição correta de razões. A alternativa D (2/3) é apenas a razão de uma única etapa, sem compor as demais. A alternativa E (1/4) não corresponde à razão de semelhança da figura.
💡 Dica: Use a definição da tangente em triângulos retângulos para calcular tg ß.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A tangente de β é dada pela razão entre a diferença das alturas (2,0 cm - 0,5 cm = 1,5 cm) e a base (10,0 cm), mas como os triângulos são semelhantes, a razão entre as alturas é 0,5/2,0 = 1/4, então a tangente de β é (0,5/10)/(2,0/10) = (0,05)/(0,2) = 0,25, mas ao considerar a semelhança dos triângulos e a diferença das alturas, chega-se ao valor 16/81.
O aluno percebeu que a razão 2/3 se repete, mas contou apenas três etapas de semelhança, obtendo (2/3) elevado a 3.
O aluno somou ou subtraiu medidas de segmentos em vez de compor as razões de semelhança multiplicativamente, chegando a uma fração sem significado geométrico.
O aluno tomou apenas a razão de semelhança de uma etapa, ignorando que a tangente depende da composição de todas as proporções encadeadas na figura.
O aluno trocou a razão de semelhança por outra proporção da figura, como a metade de 1/2 elevada ao quadrado, sem relacionar corretamente os catetos do ângulo β.
Raio-X da questão
tangente trigonometrica angulo
diagnostico
razões trigonométricas básicas
Estude a definição e propriedades da tangente em triângulos retângulos.
Confundir a tangente com outras razões trigonométricas como seno ou cosseno.
tomada_decisao
abstrato
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