Vinte apostadores compareceram a uma casa lotérica para participar de um “bolão”, cabendo a cada um pagar ou…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Vinte apostadores compareceram a uma casa lotérica para participar de um “bolão”, cabendo a cada um pagar ou um mínimo de R$ 10,00, ou um valor maior, mas igual para todos, múltiplo de R$ 5,00; entretanto, para cada R$ 5,00 de aumento no valor da aposta, haverá a saída de um apostador. Dentre os valores abaixo, para se fazer um jogo de R$ 525,00, cada apostador deverá participar em reais, com a quantia de (Mackenzie 2009)
- A) 45
- B) 50
- C) 25
- D) 35
- E) 105
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Chame de v o valor pago por cada apostador. Como v deve ser múltiplo de 5 e no mínimo 10, escreva v = 5m, com m maior ou igual a 2.
- O mínimo é R$ 10,00 com 20 apostadores (m = 2). Cada aumento de R$ 5,00 em v (um acréscimo de 1 em m) faz sair um apostador. Logo, o número de apostadores é n = 20 - (m - 2) = 22 - m.
- O jogo deve totalizar R$ 525,00, então v x n = 525, ou seja, 5m(22 - m) = 525. Dividindo por 5: m(22 - m) = 105, que equivale a m^2 - 22m + 105 = 0.
- Resolvendo a equação do segundo grau, o discriminante é 484 - 420 = 64, a raiz é 8, e m = (22 ± 8)/2, logo m = 15 ou m = 7.
- Para m = 7, v = 35 e n = 15, e 35 x 15 = 525. Esta solução é válida e aparece entre as alternativas. Para m = 15, v = 75 e n = 7, que é válida mas não aparece entre as alternativas.
- Conferindo as outras opções: 45 (m = 9) daria 117 apostadores vezes... na verdade 45 x 13 = 585; 50 x 12 = 600; 25 x 17 = 425; 105 x 1 = 105. Nenhuma dá 525.
- Por isso a resposta correta é a alternativa D (R$ 35). Concordo com o gabarito oficial.
💡 Dica: Calcule o valor da aposta por apostador considerando a saída progressiva de apostadores.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tentou um valor aleatório próximo ao mínimo ou testou o valor sem recalcular o número de apostadores que saem, ou errou a multiplicação por 45 com 13 apostadores (585, não 525).
O aluno provavelmente dividiu 525 por 10 ou por 5 sem considerar que o número de apostadores diminui a cada aumento, ou esqueceu a relação entre aumento de valor e saída de participantes. Com 50 e 12 apostadores o total seria 600.
O aluno provavelmente aplicou a regra de saída de apostadores de forma errada, por exemplo tratando o aumento como 5 unidades de valor sem ajustar a quantidade de participantes. Com 25 e 17 apostadores o total seria 425, não 525.
CORRETA. Se cada um pagar R$ 35,00, houve 5 aumentos de R$ 5,00 (de R$ 10,00 até R$ 35,00), então saíram 5 apostadores, restando 15. 15 x 35 = 525, atendendo todas as condições do problema.
O aluno provavelmente tomou 105 como resposta por ser o produto 525 dividido por 5, confundindo o resultado da equação intermediária m(22 - m) = 105 com o valor pago por apostador. Com um único apostador o total seria apenas 105.
Raio-X da questão
razão, múltiplos, progressão aritmética
avaliacao
multiplicação e divisão · progressão aritmética
estude progressão aritmética e múltiplos
não considerar a redução do número de apostadores ao aumentar o valor da aposta, ou erro no cálculo da progressão.
pensamento_critico
cotidiano
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