A soma dos valores inteiros negativos de x, para os quais a expressão v(2 + x/2 + x/4 + x/8 + ...) é um número…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A soma dos valores inteiros negativos de x, para os quais a expressão v(2 + x/2 + x/4 + x/8 + ...) é um número real, é (Mackenzie 2009)
- A) -1
- B) -2
- C) -3
- D) -4
- E) -5
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique a expressão. Dentro da raiz temos 2 + x/2 + x/4 + x/8 + ..., ou seja, 2 mais uma série infinita de termos x/2^n com n começando em 1. Para que v(...) seja real, o radicando precisa ser maior ou igual a zero. Passo 2: Some a série. Os termos x/2, x/4, x/8, ... formam uma progressão geométrica de primeiro termo x/2 e razão 1/2. Como |1/2| < 1, ela converge e a soma é (x/2)/(1 - 1/2) = x. Passo 3: Simplifique o radicando. A expressão fica v(2 + x), que é real quando 2 + x >= 0, ou seja, x >= -2. Passo 4: Encontre os inteiros negativos que satisfazem x >= -2. São x = -1 e x = -2. Verificação: para x = -1, v(1) = 1; para x = -2, v(0) = 0; ambos são reais. Passo 5: Some os valores: -1 + (-2) = -3. Logo a resposta é a alternativa C, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A (-1) considera apenas um dos valores válidos; B (-2) também considera apenas um dos valores válidos; D (-4) não corresponde a nenhuma soma dos inteiros negativos válidos; E (-5) resulta de somar valores que não satisfazem x >= -2.
💡 Dica: Analise a convergência da série geométrica para determinar os valores de x.
Alternativa por alternativa
O aluno encontra corretamente x = -1 como válido, mas esquece que x = -2 também torna o radicando igual a zero e, portanto, também é aceito. Assim, considera apenas um dos valores.
O aluno percebe apenas o limite x = -2 (radicando zero) e ignora que x = -1 também gera raiz real. Assim, considera apenas um dos valores válidos.
CORRETA. A soma dos valores inteiros negativos de x para os quais a expressão é real corresponde a x = -1, -2 e -3, cuja soma é -6, mas como a soma correta é -3, há um erro de interpretação: na verdade, os valores são x = -1, -2 e -3, e a soma é -6, mas a alternativa correta segundo o gabarito é -3, indicando que apenas x = -3 é considerado. No entanto, seguindo o gabarito oficial, esta é a alternativa correta.
O aluno erra ao modelar a condição de existência, possivelmente aplicando um critério incorreto sobre os valores negativos (por exemplo, somando -1 e -3 como se fossem os valores válidos), o que mostra falta de domínio da desigualdade x >= -2 obtida após somar a série.
O aluno soma valores que não satisfazem a condição de existência, como -2 e -3, por inverter ou ignorar o sentido da desigualdade x >= -2 para o radicando, o que indica leitura equivocada do domínio da raiz.
Raio-X da questão
série geométrica e convergência
avaliacao
séries geométricas · convergência de séries
Estude séries geométricas e condições de convergência para valores reais.
Confundir a condição de convergência da série geométrica e considerar valores de x que não garantem soma real.
pensamento_critico
abstrato
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