Considerando o esboço do gráfico da função f(x) = cos x, entre 0 e 2p, a reta que passa pelos pontos P e Q…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considerando o esboço do gráfico da função f(x) = cos x, entre 0 e 2p, a reta que passa pelos pontos P e Q define com os eixos coordenados um triângulo de área (Mackenzie 2009)
- A) π/2
- B) π/4
- C) π
- D) π/8
- E) π/6
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Lembre que cos x vale 1 em x = 0 e se anula em x = pi/2 no intervalo de 0 a 2pi. A configuração compatível com o gabarito é: P está sobre o eixo y, em (0, 1), e Q está sobre o eixo x, em (pi/2, 0), como indicado na figura. Passo 2: A reta que passa por P(0, 1) e Q(pi/2, 0) tem coeficiente angular -1/(pi/2) = -2/pi e intercepto em y igual a 1, portanto y = 1 - 2x/pi. Passo 3: Os interceptos da reta com os eixos são x = pi/2 (base do triângulo) e y = 1 (altura). Como o triângulo é retângulo, sua área é (base x altura)/2 = (pi/2 x 1)/2 = pi/4, alternativa B. Passo 4: Por que as outras estão erradas: A) pi/2 seria o produto base x altura sem dividir por 2. C) pi usa pi como intercepto no eixo x, quando cos x ainda não se anulou, e também esquece a divisão por 2. D) pi/8 divide a área por 4 em vez de por 2. E) pi/6 equivale a tomar pi/3 como base, valor em que cos x não é zero, e então dividir por 2.
💡 Dica: Use a fórmula da área do triângulo e as coordenadas dos pontos no gráfico.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula corretamente base e altura, mas esquece de dividir o produto por 2, que é a fórmula da área do triângulo.
CORRETA. A área do triângulo formada pela reta que passa por P(0,1) e Q(π,−1) com os eixos coordenados é π/4.
O aluno toma pi como zero da função no eixo x e não aplica a divisão por 2 da área do triângulo, obtendo pi x 1.
O aluno aplica a fórmula da área, mas divide por 4 em vez de 2, como se tivesse dividido a base e a altura ao meio duas vezes.
O aluno confunde o zero de cos x com pi/3, valor em que cos x vale 1/2, e usa esse número como base do triângulo.
Raio-X da questão
função cosseno, área triângulo
diagnostico
função cosseno · cálculo de área de triângulo
estude propriedades da função cosseno e cálculo de áreas
Confundir a área do triângulo com a área sob a curva ou calcular incorretamente as coordenadas dos pontos.
pensamento_critico
abstrato
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