Os valores de x, x ? R, para os quais a função f(x) = log (tg x – 1) está definida, são (Mackenzie 2019)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Os valores de x, x ? R, para os quais a função f(x) = log (tg x – 1) está definida, são (Mackenzie 2019)
- A) 2kπ < x < π/2 + 2kπ , k ∈ ℤ
- B) π/4 + 2kπ < x < 5π/4 + 2kπ , k ∈ ℤ
- C) π/4 + 2kπ < x ≤ π/2 + 2kπ e 5π/4 + 2kπ < x ≤ 3π/2 + 2kπ , k ∈ ℤ
- D) π/4 + 2kπ < x < π/2 + 2kπ e 5π/4 + 2kπ < x < 3π/2 + 2kπ , k ∈ ℤ
- E) 2kπ < x < π + 2kπ , k ∈ ℤ
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Para que f(x) = log(tg x - 1) esteja definida, o logaritmando deve ser estritamente positivo, ou seja, tg x - 1 > 0, o que equivale a tg x > 1. Além disso, tg x só existe para x diferente de π/2 + kπ, k inteiro.
- A tangente tem período π. No intervalo (-π/2, π/2), tg x > 1 apenas quando π/4 < x < π/2, pois tg(π/4) = 1 e tg cresce até infinito quando x se aproxima de π/2 pela esquerda.
- Como o período é π, a solução geral é π/4 + kπ < x < π/2 + kπ, com k inteiro. Isso pode ser separado em dois casos: k par (k = 2m), resultando em π/4 + 2mπ < x < π/2 + 2mπ, e k ímpar (k = 2m+1), resultando em 5π/4 + 2mπ < x < 3π/2 + 2mπ.
- Juntando os dois casos, obtém-se exatamente a alternativa D: π/4 + 2kπ < x < π/2 + 2kπ e 5π/4 + 2kπ < x < 3π/2 + 2kπ.
- Por que as outras estão erradas: A considera apenas tg x > 0 num único intervalo e ignora a condição tg x > 1 e a periodicidade π. B usa um intervalo de comprimento π que contém a assíntota em π/2, onde a tangente não existe, e inclui a região em que tg é menor que 1. C inclui os extremos π/2 e 3π/2, onde a tangente não está definida. E descreve a região em que o seno é positivo, confundindo a condição de sinal com a condição tg x > 1.
- Conclusão: o gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Analise o domínio da função logarítmica e da tangente para determinar onde a função está definida.
Alternativa por alternativa
O aluno trocou tg x > 1 por tg x > 0 e considerou apenas um intervalo por período de 2π, esquecendo que a tangente tem período π e que o limite inferior é π/4.
O aluno pensou que a condição vale num intervalo contínuo de comprimento π e não percebeu que a tangente passa por uma assíntota em π/2 e fica negativa ou menor que 1 entre π/2 e 5π/4.
O aluno incluiu os extremos π/2 e 3π/2 com desigualdade não estrita, sem perceber que tg x não existe nesses pontos e que o logaritmando ficaria indefinido.
CORRETA. O domínio é dado pelos intervalos onde tg x > 1, excluindo os pontos onde tg x = 1 ou é indefinida, exatamente como apresentado nesta alternativa.
O aluno associou a condição ao intervalo onde o seno é positivo, confundindo o sinal de seno com a condição tg x > 1 e ignorando o período π da tangente.
Raio-X da questão
domínio de função logarítmica
diagnostico
função logarítmica · função tangente
estude domínio de funções logarítmicas e trigonométricas
Confundir o domínio da tangente com o domínio da função logarítmica, esquecendo que o argumento do log deve ser positivo.
pensamento_critico
abstrato
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