Transformações geométricas: exercícios com gabarito comentado

Quando comecei a ensinar transformações geométricas no nono ano, meus alunos decoravam a regra da rotação de 90 graus e esqueciam tudo na semana seguinte. Foi aí que percebi que o problema não era a regra, e sim a falta de questões em que eles precisassem compor duas ou três transformações na ordem certa. Desde então, passei a montar listas com erros comuns e a discutir cada alternativa com a turma.

Neste post eu reúno seis questões com gabarito comentado, do jeito que costumo levar para a sala. Você pode usá-las direto ou usar a mesma lógica para criar as suas com o GeraProva, que gera questões alinhadas à BNCC e com a explicação de cada distrator.

O que são transformações geométricas no plano?

As transformações geométricas são operações que movem ou modificam uma figura no plano: translação (deslocamento por um vetor), rotação (giro em torno de um ponto), reflexão (espelhamento em relação a uma reta) e homotetia (ampliação ou redução a partir de um centro e de uma razão). As três primeiras são isometrias, ou seja, preservam medidas e forma; a homotetia preserva a forma, mas altera as dimensões. Na prática, o erro mais frequente dos alunos é tratar todas como se fossem equivalentes, sem considerar a ordem das operações. Ao montar exercícios com o GeraProva, eu sempre deixo claro, no enunciado, qual é a ordem de aplicação, porque é justamente aí que a questão fica interessante.

Como a ordem das transformações altera o resultado?

Esta é a ideia que mais precisa ficar clara. Compor transformações não é comutativo: girar e depois transladar não produz o mesmo resultado que transladar e depois girar, principalmente quando o centro da rotação não é a origem. Por isso, antes de corrigir qualquer questão, peço que os alunos anotem as coordenadas após cada etapa. Essa organização em passos evita a maior parte dos erros e torna visível o raciocínio.

Passo a passo para compor transformações

• Leia a sequência e numere as operações na ordem indicada.
• Aplique uma por vez, anotando as novas coordenadas de cada vértice.
• Verifique o sentido da rotação (horário ou anti-horário) e o centro da homotetia.
• Confira com um ponto de controle, como o vértice mais afastado da origem.

Questões prontas com gabarito comentado

As questões abaixo vêm da base do GeraProva. Para cada uma, mostro o enunciado, as alternativas com a explicação do gabarito e a dica de resolução que costumo dar em sala.

Piso da biblioteca: rotação seguida de deslocamento

Para renovar o piso da biblioteca municipal, artesãos planejaram uma peça triangular em uma malha de referência. Antes da mudança, os vértices da peça eram A(1,1), B(3,1) e C(1,2), considerando o centro da malha como O(0,0). O projeto prevê duas etapas sucessivas: primeiro, girar toda a peça 90 graus no sentido horário em torno de O; depois, deslocar a peça 4 unidades para a direita e 2 unidades para cima. Esse procedimento permitirá encaixar a peça em uma região vazia do desenho do piso, sem alterar suas medidas ou sua forma.

Analise as duas transformações descritas no texto e determine as coordenadas dos vértices da peça após a conclusão do procedimento.

• ❌ A) Os vértices A', B' e C' ficam, respectivamente, em (3,-5), (3,-7) e (4,-5). — Errada: a ordem das transformações foi trocada, aplicando a translação antes da rotação.
• ❌ B) Os vértices A', B' e C' ficam, respectivamente, em (3,3), (3,5) e (2,3). — Errada: essas posições correspondem a um giro anti-horário seguido da translação, sentido contrário ao do enunciado.
• ❌ C) Os vértices A', B' e C' ficam, respectivamente, em (5,3), (7,3) e (5,4). — Errada: aplicou apenas a translação e esqueceu a rotação.
• ❌ D) Os vértices A', B' e C' ficam, respectivamente, em (1,-1), (1,-3) e (2,-1). — Errada: são as posições logo após a rotação, mas falta aplicar o deslocamento da segunda etapa.
• ✅ E) Os vértices A', B' e C' ficam, respectivamente, em (5,1), (5,-1) e (6,1). — Correta: a rotação horária leva os pontos a (1,-1), (1,-3) e (2,-1), e a translação de (4,2) produz as coordenadas finais.

Dica de resolução: aplique a rotação de 90 graus no sentido horário e depois o deslocamento indicado nas coordenadas. Conceito central: transformações geométricas em coordenadas. Para revisão: rotação e translação de figuras no plano cartesiano. BNCC EF08MA18; nível de Bloom: Aplicar.

Triângulos T1, T2 e T3: identificando a sequência

Trecho de relatório: Em um espaço expositivo de arte geométrica, um atelier instalou três triângulos numerados T1, T2 e T3. O triângulo T2 foi obtido a partir de T1 por rotação de 90 graus no sentido horário em torno da origem das coordenadas. Em seguida, o triângulo T3 resultou da aplicação de uma homotetia de razão 1/2, também com centro na origem, sobre T2. As peças mantêm a mesma orientação relativa entre si, mas apresentam dimensões diferentes conforme as transformações realizadas.

Analise o texto-base e identifique a sequência de transformações que leva o triângulo T1 ao triângulo T3.

• ❌ A) reflexão em relação ao eixo x seguida de homotetia de razão 1/2 — Errada: a homotetia está correta, mas a reflexão não corresponde ao giro de 90 graus descrito.
• ✅ B) Um giro de um quarto de volta para a direita, seguido da redução das medidas à metade. — Correta: T2 vem de uma rotação horária de 90 graus e T3 de uma redução à metade.
• ❌ C) rotação de 180 graus no sentido horário seguida de homotetia de razão 2 — Errada: a rotação é de um quarto de volta, não de meia volta, e a homotetia amplia em vez de reduzir.
• ❌ D) reflexão em relação ao eixo y seguida de homotetia de razão 1/2 — Errada: mesma falha da alternativa A; a reflexão não substitui a rotação indicada.
• ❌ E) rotação de 90 graus no sentido anti-horário seguida de homotetia de razão 1/2 — Errada: a redução está certa, mas o sentido do giro foi invertido.

Dica de resolução: combine a direção da rotação com a razão da homotetia descritas no texto. Conceito central: composição de transformações geométricas. Para revisão: rotações no plano cartesiano e homotetias centradas na origem. BNCC EM13MAT105; nível de Bloom: Analisar.

Cópia do triângulo com ampliação e giro

Durante as expedições cartográficas de 1840, equipes registraram um triângulo ABC no plano com vértices próximos ao marco zero. Para marcar uma nova área, o coordenador definiu um triângulo A'B'C' cujos lados medem o dobro dos originais, orientado 90 graus no sentido horário em relação a ABC e deslocado três unidades a leste e duas ao norte. A planta do terreno deve reproduzir A'B'C' a partir de ABC utilizando transformações geométricas isométricas e homotéticas.

Analise a situação descrita e determine qual sequência de transformações geométricas reproduz A'B'C' a partir de ABC.

• ❌ A) Aplicar rotação de 90 graus no sentido anti-horário em torno da origem, seguida de homotetia de razão 2 e translação de três unidades a leste e duas ao norte. — Errada: o sentido da rotação está invertido.
• ❌ B) Aplicar homotetia de centro na origem e razão 1/2, seguida de rotação de 90 graus no sentido horário em torno da origem e translação de três unidades a leste e duas ao norte. — Errada: a razão está invertida; a figura final tem lados o dobro do original.
• ❌ C) Aplicar homotetia de centro em A e razão 2, seguida de rotação de 90 graus no sentido horário em torno de A, e translação de três unidades a leste e duas ao norte. — Errada: o centro deve ser a origem (marco zero), não o vértice A.
• ✅ D) Aplicar homotetia de centro na origem e razão 2, seguida de rotação de 90 graus no sentido horário em torno da origem, e translação de três unidades a leste e duas ao norte. — Correta: ampliação no centro, giro horário e depois o deslocamento descrito.
• ❌ E) Aplicar translação de três unidades a leste e duas ao norte, seguida de rotação de 90 graus no sentido horário em torno da origem e homotetia de centro na origem e razão 2. — Errada: a ordem está incorreta; a escala deve vir antes para manter as proporções e a orientação finais.

Dica de resolução: analise a ordem e os efeitos das transformações indicadas. Conceito central: transformações isométricas e homotéticas. Para revisão: rotação, homotetia e translação. BNCC EM13MAT105; nível de Bloom: Criar.

Canteiro ampliado: qual transformação foi usada?

Em um parque de uma cidade brasileira, a prefeitura ampliou um canteiro triangular para criar uma área destinada a atividades educativas. O canteiro original tem vértices A, B e C, com AB = 5 m, BC = 7 m e CA = 6 m. Na ampliação, o vértice A permaneceu no mesmo ponto, e os vértices B' e C' foram posicionados, respectivamente, nas semirretas AB e AC, de modo que AB' = 10 m e AC' = 12 m. Além disso, B'C' = 14 m, e os segmentos B'C' e BC são paralelos. Assim, o novo canteiro A'B'C', com A' = A, foi obtido mantendo a forma do canteiro original e dobrando todas as suas dimensões.

Com base no texto, qual transformação geométrica foi utilizada para obter o canteiro A'B'C' a partir do canteiro ABC?

• ❌ A) uma rotação de 180 graus com centro em A — Errada: rotações preservam comprimentos e não explicam a duplicação dos lados.
• ❌ B) uma reflexão em relação à reta BC — Errada: reflexões são isometrias e mantêm as medidas originais.
• ✅ C) uma homotetia de razão 2 com centro em A — Correta: A permanece fixo, os pontos correspondentes estão alinhados com A e todas as medidas dobram.
• ❌ D) uma translação de vetor AB — Errada: translações conservam as medidas dos lados, e aqui elas foram duplicadas.
• ❌ E) uma homotetia de razão 2 com centro em B — Errada: a razão está certa, mas o centro deve ser A, que permanece fixo no texto.

Dica de resolução: compare as medidas dos lados e a posição dos segmentos paralelos para identificar a transformação. Conceito central: homotetia. Para revisão: propriedades das transformações geométricas. BNCC EM13MAT105; nível de Bloom: Entender.

Triângulo ABC e sua cópia no plano cartesiano

Em uma exposição de matemática no parque, um triângulo foi desenhado em um plano cartesiano e depois transformado. O triângulo ABC tem vértices A(1,2), B(4,2) e C(1,5). Sua cópia A''B''C'' tem vértices A''(2,1), B''(2,4) e C''(-1,1).

Qual transformação geométrica leva o triângulo ABC ao triângulo A''B''C''?

• ❌ A) Aplicar uma reflexão em relação à reta x = 2. — Errada: essa reflexão leva A para (3,2), não para (2,1).
• ❌ B) Aplicar uma reflexão em relação à reta y = x. — Errada: essa reflexão troca as coordenadas e leva A para (2,1), mas leva C para (5,1), não para (-1,1).
• ✅ C) Aplicar uma rotação de 90 graus em sentido anti-horário em torno do ponto (2, 2). — Correta: A vai para (2,1), B para (2,4) e C para (-1,1), coincidindo com os três vértices.
• ❌ D) Aplicar uma translação por vetor (1, -4). — Errada: os vértices resultantes, como (2,-2), não coincidem com a cópia.
• ❌ E) Aplicar uma rotação de 90 graus em sentido horário em torno do ponto (2, 2). — Errada: o sentido horário leva A para (2,3), que não pertence à cópia.

Dica de resolução: analise as coordenadas e aplique as transformações para verificar qual corresponde. Conceito central: transformações geométricas no plano. Para revisão: rotação, reflexão e translação no plano cartesiano. BNCC EF07MA21; nível de Bloom: Analisar.

Painel digital: a ordem das operações importa

Em um painel digital, o triângulo PQR, com vértices P(1,1), Q(2,1) e R(1,2), será transformado para compor a identidade visual de uma campanha. O sistema de edição aplica três operações geométricas, sempre na ordem indicada: rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem, translação pelo vetor (6,3) e homotetia de razão 2 com centro C(1,0). Após as operações, o sistema registra os vértices P'(9,8), Q'(9,10) e R'(7,8).

Com base nas coordenadas do triângulo inicial e do triângulo final, qual sequência de transformações geométricas produz exatamente os vértices P'(9,8), Q'(9,10) e R'(7,8)?

• ❌ A) Translação pelo vetor (6,3); rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem; homotetia de razão 2 com centro C(1,0). — Errada: a translação foi feita antes da rotação, e o deslocamento também gira.
• ✅ B) Rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem; translação pelo vetor (6,3); homotetia de razão 2 com centro C(1,0). — Correta: a rotação leva a P(-1,1), a translação a P(5,4) e a homotetia a P'(9,8). Como o centro não é a origem, a ordem altera o resultado.
• ❌ C) Rotação de 90° no sentido horário em torno da origem; translação pelo vetor (6,3); homotetia de razão 2 com centro C(1,0). — Errada: o sentido da rotação está invertido, e a posição após a primeira etapa muda.
• ❌ D) Rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem; homotetia de razão 2 com centro C(1,0); translação pelo vetor (6,3). — Errada: a homotetia foi aplicada antes da translação, e essa troca de ordem altera as coordenadas.
• ❌ E) Homotetia de razão 2 com centro C(1,0); rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem; translação pelo vetor (6,3). — Errada: a homotetia veio antes da rotação, e o centro C não coincide com a origem.

Dica de resolução: aplique as transformações na ordem dada e verifique as coordenadas resultantes. Conceito central: transformações geométricas planas. Para revisão: rotação, homotetia e translação no plano cartesiano. BNCC EM13MAT105; nível de Bloom: Entender.

Como usar essas questões na sua turma?

Na minha experiência, o que mais funciona é pedir que os alunos resolvam sem consultar o gabarito, anotando as coordenadas a cada etapa, e só depois discutir as alternativas erradas. Quando a turma entende por que a alternativa B da questão do painel digital está errada, o assunto parece fixar de vez. Você também pode cadastrar-se gratuitamente no cadastro grátis e gerar listas parecidas, ajustando o nível de dificuldade e o código BNCC de cada turma.

Vale a pena montar a lista sozinho ou usar uma ferramenta?

Montar uma questão com gabarito comentado, com distratores bem pensados, leva tempo. Com o GeraProva, eu gasto alguns minutos revisando o que a IA gerou em vez de horas escrevendo do zero, e ainda recebo os dados de cada questão: dificuldade, nível de Bloom e tipo de raciocínio. Isso me ajuda a equilibrar a prova entre questões de aplicação e de análise.

Se você quer testar com a sua própria turma, comece pelo cadastro gratuito e gere uma primeira lista de transformações geométricas. Se algo não ficar do jeito que você imaginou, ajuste e teste de novo: é assim que eu trabalho, e funciona.