Questões sobre sequências recursivas e não recursivas

Eu já percebi que a dificuldade da turma com sequências não costuma estar na conta. Quando pergunto se 3, 6, 12, 24 está “crescendo”, quase todos respondem bem. O tropeço aparece quando peço que identifiquem como cada termo foi definido: olhando para o anterior ou indo diretamente à posição n?

Na minha experiência, comparar pares de sequências resolve boa parte dessa confusão. Uma regra recursiva pode ser simples, como “somar 3”, mas exige um termo anterior; uma regra não recursiva, ou explícita, permite encontrar qualquer posição por uma fórmula. É essa leitura que eu procuro avaliar.

O que são sequências recursivas e não recursivas?

Sequências recursivas são aquelas em que um termo é obtido com base em um ou mais termos anteriores, junto de uma condição inicial; por exemplo, em 2, 4, 8, 16, cada termo pode ser definido como o dobro do anterior. Sequências não recursivas, também chamadas explícitas neste contexto, permitem calcular qualquer termo diretamente pela posição, como em aₙ = n², sem precisar conhecer os valores anteriores. A habilidade EF07MA14 pede que o estudante classifique esses dois modos de definição e reconheça a recursão em diferentes contextos. No GeraProva, eu consigo selecionar essa habilidade e receber itens com enunciado, nível cognitivo e distratores explicados, o que ajuda a transformar uma dúvida aparentemente abstrata em evidência concreta de aprendizagem.

O teste que eu uso antes de corrigir

Eu proponho duas perguntas rápidas: “Para achar o 20º termo, preciso saber o 19º?” e “Existe uma expressão que usa apenas n?” Se a primeira resposta for sim, a regra apresentada é recursiva. Se a segunda for sim, a definição apresentada é explícita. Uma mesma sequência pode até admitir as duas descrições, mas a classificação deve respeitar a forma como o enunciado a definiu.

• Recursiva: a₁ = 5 e aₙ = aₙ₋₁ + 3.
• Não recursiva: aₙ = 3n + 2.
• Alerta: ter padrão visível não torna uma sequência automaticamente recursiva.

Como avaliar sequências recursivas na prática?

Para avaliar sequências recursivas na prática, eu combino pelo menos três ações: peço que a turma reconheça a regra descrita, complete termos e compare uma definição recursiva com uma explícita. Em uma prova curta, uso de 4 a 6 itens, começando por uma regra de um termo anterior, como “dobrar”, e avançando para a soma dos dois termos anteriores, como Fibonacci. Também incluo uma fórmula em função de n para verificar se o estudante não está chamando toda sequência de recursiva. No GeraProva, a seleção por BNCC e Bloom ajuda a variar a exigência: posso começar em Lembrar e chegar a Analisar ou Avaliar, sem perder o foco na EF07MA14.

Quais erros os distratores revelam?

Quando alguém marca que uma fórmula como 3n − 1 é recursiva, eu não trato como erro de cálculo: é uma confusão entre “ter uma regra” e “depender de termo anterior”. Já quem reconhece Fibonacci, mas não identifica “somar 2 ao anterior”, costuma associar recursão apenas a exemplos famosos. Esses padrões orientam minha retomada.

Quantas questões usar para diagnosticar a turma?

Para um diagnóstico inicial, eu usaria 5 ou 6 questões em cerca de 15 minutos: duas de classificação direta, duas de comparação entre regras e uma ou duas com justificativa ou contexto. Essa quantidade é suficiente para observar se o estudante reconhece dependência do termo anterior, identifica fórmulas explícitas e entende casos com dois termos anteriores, sem transformar a sondagem em uma prova longa. Eu distribuo os itens entre níveis de Bloom: 2 de lembrar ou entender, 2 de aplicar ou analisar e 1 de avaliar. Depois, separo os erros por tipo e faço uma intervenção curta. Se precisar montar versões diferentes ou adaptar a linguagem, a página inicial do GeraProva me poupa o trabalho repetitivo de escrever alternativas e gabaritos do zero.

Um roteiro de correção que funciona

• Peço que o estudante circule as palavras “termo anterior”, “dois anteriores” ou a fórmula com n.
• Retomo o termo inicial: sem ele, uma regra recursiva pode não determinar a sequência.
• Comparo respostas e discuto por que cada distrator parece plausível, mas falha.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões abaixo cobrem classificações diretas, comparação de regras e reconhecimento de recursão com um ou dois termos anteriores. Todas estão alinhadas à EF07MA14, mas variam em dificuldade e no nível de Bloom, o que permite montar uma avaliação mais equilibrada. Eu gosto de usá-las não apenas para atribuir nota, mas para ler os distratores: cada alternativa errada mostra uma interpretação comum da turma. O GeraProva organiza esse tipo de dado pedagógico no próprio item — habilidade, dificuldade, raciocínio e nível cognitivo — e isso torna mais simples escolher uma questão compatível com o objetivo da aula. Abaixo, mantenho o gabarito comentado completo para que a correção também vire uma oportunidade de retomada.

1. Classificação por termo anterior ou posição

Em um jogo de construção, a sequência A é 3, 6, 12, 24, ... e cada termo é o dobro do anterior. A sequência B é dada por (n + 1)²: 4, 9, 16, 25, ... Classifique-as.

• ✅ A) A é recursiva e B é não recursiva: A depende do termo anterior; B é calculada diretamente por n.
• ❌ B) As duas são recursivas: B tem fórmula direta, portanto não depende de termo anterior.
• ❌ C) A é geométrica e B recursiva: A pode ser geométrica, mas B continua explícita.
• ❌ D) A não recursiva e B recursiva: as classificações foram invertidas.
• ❌ E) As duas não recursivas: ignora que A é construída dobrando o anterior.

Dica de resolução: observe se a regra usa o termo anterior ou a posição. Conceito central: sequências recursivas e não recursivas. Revisão: definições recursivas e explícitas. BNCC: EF07MA14. Bloom: Analisar.

2. Quais regras realmente dependem de termos anteriores?

Na sequência A, começa-se com 2 e acrescentam-se 2 peças por etapa; B começa com 1, 1 e soma os dois termos anteriores; C é dada por 3n − 1. Quais são recursivas?

• ❌ A) Nenhuma: A e B usam termos anteriores.
• ✅ B) Apenas A e B: A usa o anterior, B usa os dois anteriores e C é direta.
• ❌ C) Apenas A: ignora a dependência dos dois termos anteriores em B.
• ❌ D) Apenas C: a expressão 3n − 1 é explícita.
• ❌ E) Apenas B: A também é definida a partir do termo anterior.

Dica de resolução: compare cada descrição com a definição de recursão. Conceito central: sequência recursiva. Revisão: sequência explícita. BNCC: EF07MA14. Bloom: Lembrar.

3. Fórmula recursiva e fórmula explícita

Pedro definiu a₁ = 3 e aₙ = 2 · aₙ₋₁, formando 3, 6, 12, 24, ...; e bₙ = 4n + 1, formando 5, 9, 13, 17, ... Identifique cada tipo.

• ✅ A) A primeira é recursiva e a segunda não: aₙ usa aₙ₋₁; bₙ usa diretamente n.
• ❌ B) Não é possível classificar a segunda: a fórmula já permite classificá-la como explícita.
• ❌ C) As duas são recursivas: ter regra não significa usar termo anterior.
• ❌ D) A primeira não e a segunda recursiva: inverte as definições.
• ❌ E) As duas não são recursivas: desconsidera a dependência em aₙ.

Dica de resolução: compare a presença de aₙ₋₁ com uma expressão apenas em n. Conceito central: sequência recursiva e explícita. Revisão: exemplos de definições. BNCC: EF07MA14. Bloom: Aplicar.

4. Qual sequência não é definida recursivamente?

Considere 1, 4, 9, 16, 25; 2, 4, 8, 16, 32; 5, 10, 15, 20, 25; e 1, 1, 2, 3, 5. Qual não é definida recursivamente?

• ✅ A) 1, 4, 9, 16, 25: é dada explicitamente por aₙ = n².
• ❌ B) Nenhuma: há uma sequência explícita, a dos quadrados.
• ❌ C) 2, 4, 8, 16, 32: cada termo dobra o anterior.
• ❌ D) 5, 10, 15, 20, 25: cada termo acrescenta 5 ao anterior.
• ❌ E) 1, 1, 2, 3, 5: Fibonacci soma os dois termos anteriores.

Dica de resolução: procure a regra apresentada para cada lista. Conceito central: sequências recursivas e não recursivas. Revisão: definições recursivas. BNCC: EF07MA14. Bloom: Lembrar.

5. Identificação em quatro sequências

As sequências são I: 3, 6, 12, 24; II: 5, 8, 11, 14; III: 3, 5, 7, 9, dada por 2n + 1; IV: 1, 4, 9, 16, 25, dada por n². Quais são recursivas?

• ✅ A) Somente I e II: ambas se relacionam ao termo anterior.
• ❌ B) Somente I e III: III é uma fórmula explícita.
• ❌ C) Somente II e III: novamente, III não é recursiva.
• ❌ D) Somente I e IV: IV é apresentada por fórmula quadrática.
• ❌ E) Somente III e IV: as duas usam n diretamente.

Dica de resolução: identifique se a definição usa termo anterior. Conceito central: sequências recursivas e explícitas. Revisão: diferença entre os dois tipos. BNCC: EF07MA14. Bloom: Avaliar.

6. A sequência que depende de duas anteriores

Entre as sequências 3, 6, 9, 12; 1, 4, 9, 16; 2, 5, 8, 11; 2, 4, 8, 16; e 1, 1, 2, 3, 5, 8, qual é recursiva?

• ❌ A) 3, 6, 9, 12: foi apresentada por aₙ = 3n, fórmula explícita.
• ❌ B) 1, 4, 9, 16: aₙ = n² é fórmula fechada.
• ❌ C) 2, 5, 8, 11: aₙ = 3n − 1 não usa termos anteriores.
• ❌ D) 2, 4, 8, 16: embora possa ter regra recursiva, aqui é apresentada por fórmula explícita.
• ✅ E) 1, 1, 2, 3, 5, 8: cada termo é a soma dos dois anteriores.

Dica de resolução: localize a sequência que precisa dos termos anteriores. Conceito central: sequência recursiva. Revisão: sequências recursivas e explícitas. BNCC: EF07MA14. Bloom: Entender.

Como transformar os resultados em retomada?

Depois de corrigir, eu separo a turma em três necessidades: quem reconhece apenas regras com um termo anterior, quem identifica Fibonacci mas erra fórmulas explícitas e quem já justifica a classificação. Para o primeiro grupo, peço que escreva os próximos termos a partir de uma regra; para o segundo, entrego pares como aₙ = 2n + 1 e aₙ = aₙ₋₁ + 2; para o terceiro, proponho que criem uma sequência e a registrem de duas formas. Essa organização evita repetir explicações para todos do mesmo jeito. Quando preciso de novas versões, níveis ou habilidades, faço um cadastro grátis e uso o GeraProva como apoio para preparar itens, mantendo meu tempo para a mediação pedagógica.

As questões são um ponto de partida, não um rótulo para o estudante. Teste o GeraProva, adapte os enunciados à sua turma e use os comentários do gabarito para transformar cada erro em uma conversa matemática produtiva.