Ladrilhamento do plano: conceitos e questões resolvidas

Quando comecei a trabalhar ladrilhamento do plano com minhas turmas, percebi que a palavra “tesselação” parecia distante, mas o assunto ficava concreto assim que observávamos um piso. A pergunta que guiou a aula foi simples: como as peças se encontram para cobrir toda a superfície sem frestas nem sobreposições? A partir daí, usamos polígonos, medidas de ângulos e padrões nos vértices.

Na minha experiência, vale separar a observação visual da justificativa matemática. Um desenho pode parecer encaixado, mas a soma dos ângulos em cada vértice ajuda a verificar a condição. A seguir, reuni explicações práticas e questões com comentários de cada alternativa. Elas abordam a habilidade EM13MAT505 e permitem discutir desde padrões regulares até translações.

O que é ladrilhamento do plano?

Ladrilhamento do plano é a cobertura de uma superfície por peças que se encontram sem deixar espaços vazios nem se sobrepor. Essas peças, chamadas ladrilhos, podem ser polígonos regulares ou outras formas, desde que encaixem e preencham o plano conforme o padrão escolhido. Para analisar um encontro de peças, observo o vértice: os ângulos que se juntam ali precisam somar 360 graus. Também verifico se o arranjo se repete e se todos os vértices têm a mesma configuração. Quando se usa apenas um tipo de polígono regular e o padrão é uniforme, o ladrilhamento é regular; quando se combinam tipos diferentes de polígonos regulares com a mesma disposição em cada vértice, é semirregular. Eu costumo começar com desenhos e recortes, depois registro a sequência das peças. Assim, a turma conecta a imagem à justificativa geométrica, em vez de classificar o padrão apenas pelo que ele parece.

Uma sequência como 3.4.6.4 registra, em ordem ao redor de um vértice, um triângulo, um quadrado, um hexágono e outro quadrado. O número indica quantos lados tem cada polígono.

Como verificar se polígonos ladrilham um vértice?

Para verificar se polígonos conseguem preencher um vértice, somo os ângulos internos das peças que se encontram naquele ponto. Se o total for exatamente 360 graus, elas completam uma volta sem deixar fresta angular nem se sobrepor. Por exemplo, dois ângulos de 70 graus e dois de 110 graus somam 360 graus. Se a soma ficar abaixo desse valor, sobra uma abertura; se passar, há sobreposição. Essa verificação é necessária para o encontro local, mas, sozinha, não garante que qualquer combinação forme um ladrilhamento completo do plano: também é preciso conferir se as peças se encaixam pelas arestas e se o padrão pode continuar. Na minha aula, peço que os estudantes anotem as medidas, façam a soma e expliquem o que o resultado significa. É um procedimento curto, mas revela se compreenderam a relação entre ângulos e cobertura, não apenas se escolheram uma alternativa.

Uma investigação simples é comparar possibilidades com polígonos regulares. O triângulo equilátero mede 60 graus, o quadrado 90 e o hexágono regular 120. A soma ajuda a descartar combinações antes de desenhar.

Como ensinar ladrilhamento do plano na prática?

Eu organizo o estudo em três etapas: primeiro, observo um padrão de piso ou mosaico; depois, identifico as peças e registro quais se encontram em cada vértice; por fim, verifico ângulos e justifico a classificação. Essa sequência permite trabalhar visualização, cálculo e argumentação sem transformar a aula em uma lista de definições. Para variar, proponho comparar um padrão feito só de quadrados com outro que mistura triângulos, quadrados e hexágonos. Também peço aos alunos que desenhem uma repetição e expliquem se ela pode continuar sem lacunas. A habilidade EM13MAT505 prevê investigar ladrilhamentos, inclusive com apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar sobre polígonos e combinações possíveis. Se preciso preparar versões diferentes da atividade, uso o GeraProva para gerar questões e economizar tempo na elaboração; depois reviso enunciados, nível e contexto para adequar ao que foi ensinado.

Uma boa pergunta de fechamento é: “Que dado permite afirmar que o encontro está completo?”. Espero que a turma mencione a soma dos ângulos, além de observar o encaixe das arestas.

Questões prontas com gabarito comentado

Nas seis questões abaixo, eu destacaria primeiro as pistas do enunciado: quantidade e sequência de polígonos, ângulos no vértice ou operação geométrica usada para repetir uma peça. Depois, pediria que cada estudante justificasse por que a resposta correta funciona e por que os distratores não funcionam. Todas se relacionam à habilidade EM13MAT505; os níveis de Bloom variam entre lembrar, entender, analisar e aplicar. O GeraProva também organiza informações pedagógicas como dificuldade, raciocínio e conceitos, o que me ajuda a selecionar itens para objetivos diferentes. As resoluções comentadas podem servir para correção coletiva, revisão ou atividade individual. Para adaptar a seleção à sua turma, você pode fazer o cadastro grátis e explorar a plataforma. Abaixo, mantenho os enunciados e explico cada alternativa, incluindo a dica de resolução e o conceito central.

1. Qual é o tipo de ladrilhamento com dois quadrados e um octógono em cada vértice?

Artesãos do século XVIII combinavam dois quadrados e um octógono regular em torno de cada vértice, repetindo o arranjo por todo o piso. Em outra área, triângulos equiláteros também cobriam totalmente a superfície. Identifique o tipo descrito pela combinação de quadrados e octógono.

• ❌ A) Ladrilhamento regular. Usa um só tipo de polígono regular, não dois.
• ❌ B) Ladrilhamento monoédrico. Usa uma forma de ladrilho; aqui há quadrados e octógonos.
• ❌ C) Ladrilhamento irregular. O padrão descrito é uniforme e repetitivo.
• ✅ D) Ladrilhamento semirregular. Combina polígonos regulares numa mesma disposição de vértices.
• ❌ E) Ladrilhamento aperiódico. O arranjo se repete; não é aperiódico.

Dica de resolução: observe a combinação e a repetição dos polígonos. Conceito central: ladrilhamento com polígonos regulares. Para revisar: tipos de ladrilhamento. BNCC: EM13MAT505. Bloom: Lembrar. Nota: o item classifica o padrão pela combinação uniforme de polígonos regulares.

2. Como classificar o padrão triângulo, quadrado, hexágono e quadrado?

Em calçadas históricas, quadrados, triângulos equiláteros e hexágonos regulares formam uma sequência que se repete em cada vértice: triângulo, quadrado, hexágono e quadrado. O padrão cobre o plano sem espaços nem sobreposições. Classifique essa tesselação.

• ✅ A) Semi-regular. Combina polígonos regulares e mantém os mesmos vértices: 3.4.6.4.
• ❌ B) Irregular. O enunciado informa uma configuração repetitiva e uniforme.
• ❌ C) Não periódico. O padrão se repete regularmente.
• ❌ D) Demiregular. Essa classificação envolve mais de uma configuração de vértice; aqui a sequência é idêntica.
• ❌ E) Regular. Há três tipos de polígonos, não apenas um.

Dica de resolução: analise a sequência ao redor do vértice. Conceito central: tesselação semirregular. Para revisar: tipos de tesselação. BNCC: EM13MAT505. Bloom: Entender.

3. Qual é a notação do mosaico com triângulo, quadrado, hexágono e quadrado?

Um mosaico usa triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares, todos com lado de 10 cm. Em cada vértice, encontram-se, nessa ordem, um triângulo, um quadrado, um hexágono e outro quadrado; a disposição se repete. Classifique o ladrilhamento.

• ✅ A) Semirregular do tipo 3.4.6.4. A sequência representa triângulo, quadrado, hexágono e quadrado.
• ❌ B) Regular 4.4.4.4. Essa sequência usa somente quadrados.
• ❌ C) Semirregular 3.12.12. Corresponde a um triângulo e dois dodecágonos.
• ❌ D) Regular 6.6.6. Usa somente hexágonos.
• ❌ E) Semirregular 3.3.3.3.6. Indica quatro triângulos e um hexágono.

Dica de resolução: associe cada número ao número de lados do polígono na sequência. Conceito central: ladrilhamento semirregular. Para revisar: notação dos vértices. BNCC: EM13MAT505. Bloom: Analisar.

4. Por que losangos com ângulos de 70° e 110° podem preencher os vértices?

Peças de borracha reciclada têm formato de losango, com dois ângulos agudos de 70 graus e dois obtusos de 110 graus. São dispostas em fileiras deslocadas, compartilhando lados. Considerando os encontros das peças, por que esse ladrilhamento pode preencher o plano sem frestas nos vértices?

• ❌ A) Um ângulo de 70° e dois de 110°. Somam 290°, deixando uma lacuna.
• ✅ B) Dois ângulos de 70° e dois de 110°. A soma é 2 × 70° + 2 × 110° = 360°.
• ❌ C) Dois ângulos de 70° e um de 110°. Somam 250°, menos que uma volta.
• ❌ D) Quatro ângulos de 70°. Somam 280°, deixando uma fresta.
• ❌ E) Três ângulos de 110°. Somam 330°, não completam 360°.

Dica de resolução: some os ângulos que se encontram no vértice. Conceito central: ladrilhamento com losangos. Para revisar: soma angular nos vértices. BNCC: EM13MAT505. Bloom: Aplicar.

5. Quais operações geram o ladrilhamento do quadrilátero ABCD?

Uma arquiteta quer cobrir uma área com cópias de um quadrilátero convexo ABCD, sem espaços nem sobreposições. Ela experimentou movimentar a peça ao longo dos vetores AB e AD e obteve um padrão contínuo. Identifique as operações geométricas que geram o ladrilhamento.

• ❌ A) Translação por AC e reflexão sobre AC. Não corresponde aos dois deslocamentos indicados e pode gerar falhas.
• ❌ B) Reflexões sobre AB e CD. Não garantem dois deslocamentos independentes para cobrir o plano.
• ❌ C) Rotação de 90° em A e translação por BD. A rotação não é a operação descrita.
• ❌ D) Rotação de 180° no ponto médio de AC. Isoladamente, não produz a malha de translações apresentada.
• ✅ E) Translações por AB e AD. Os vetores deslocam as cópias em direções independentes e formam o padrão descrito.

Dica de resolução: procure as operações indicadas pelos vetores do enunciado. Conceito central: translação e ladrilhamento plano. Para revisar: translações e quadriláteros. BNCC: EM13MAT505. Bloom: Entender.

6. Quais três polígonos somam 360° no vértice?

Uma artesã escolhe três peças regulares de mesmo comprimento de lado para formar um vértice interno. Os ângulos são: triângulo equilátero, 60°; quadrado, 90°; hexágono, 120°; octógono, 135°; dodecágono, 150°. Qual combinação completa uma volta sem folga nem sobreposição?

• ❌ A) Dois hexágonos e um quadrado. 120° + 120° + 90° = 330°.
• ✅ B) Um quadrado, um hexágono e um dodecágono. 90° + 120° + 150° = 360°.
• ❌ C) Triângulo, quadrado e octógono. 60° + 90° + 135° = 285°.
• ❌ D) Triângulo, hexágono e octógono. 60° + 120° + 135° = 315°.
• ❌ E) Quadrado, octógono e dodecágono. 90° + 135° + 150° = 375°, acima de uma volta.

Dica de resolução: some os ângulos e compare com 360°. Conceito central: ladrilhamento com polígonos regulares. Para revisar: ângulos internos e vértices. BNCC: EM13MAT505. Bloom: Aplicar.

As questões ajudam a revisar ângulos, padrões e transformações; adapte os exemplos ao que sua turma já estudou. O GeraProva pode apoiar a criação de novas atividades, mas vale sempre conferir se cada item combina com seu objetivo. Fique à vontade para testar a plataforma.