Exercícios sobre grandezas inversamente proporcionais

Eu já percebi que muitos alunos acertam a conta de regra de três, mas tropeçam antes dela: não reconhecem se as grandezas são realmente inversamente proporcionais. Na minha turma, a virada acontece quando eu paro de pedir apenas o cálculo e começo a perguntar o que permanece constante na situação.

Para trabalhar esse ponto, gosto de alternar contextos próximos — pessoas e tempo, velocidade e duração de uma viagem, divisão de tarefas — com relações que parecem proporcionais, mas não são. Assim, a avaliação mostra se o estudante compreendeu a ideia, e não só decorou um procedimento.

O que são grandezas inversamente proporcionais?

Grandezas inversamente proporcionais são duas quantidades que variam em sentidos opostos, mantendo o produto constante: se uma dobra, a outra cai pela metade; se uma triplica, a outra passa a valer um terço. Por exemplo, para a mesma tarefa e com produtividade equivalente, 5 pessoas trabalhando 8 dias, 10 pessoas trabalhando 4 dias e 20 pessoas trabalhando 2 dias produzem sempre o mesmo produto: 40 pessoa-dias. A relação pode ser escrita como y = k/x, em que k é constante. Eu reforço que “uma aumenta e a outra diminui” não basta para provar proporcionalidade inversa; é preciso testar o produto ou verificar a transformação proporcional exata. Esse cuidado, previsto na habilidade EF08MA12, evita que os alunos classifiquem toda relação decrescente como inversa.

O teste que eu uso no quadro

• Organizo os pares de valores em uma tabela.
• Multiplico cada par: x × y.
• Se o resultado for constante, há proporcionalidade inversa.
• Se a razão y/x for constante, a proporcionalidade é direta.
• Se nenhum dos dois testes funcionar, a relação pode ser não proporcional.

Também vale explicitar as condições do contexto. Mais trabalhadores só reduzem o tempo pela metade quando a quantidade de trabalho é fixa e todos têm produtividade semelhante. Essa conversa dá sentido ao modelo matemático.

Como avaliar grandezas inversamente proporcionais na prática?

Na prática, eu avalio grandezas inversamente proporcionais em três movimentos: primeiro, peço que a turma classifique situações como direta, inversa ou não proporcional; depois, proponho tabelas em que precisam justificar pelo produto constante; por fim, apresento uma expressão como H = 4/G para ligar contexto, tabela e linguagem algébrica. Em uma atividade curta, uso de 6 a 8 questões: duas conceituais, três contextualizadas e uma ou duas com cálculo ou representação gráfica. O essencial é pedir justificativa em pelo menos duas delas, porque o erro mais frequente é marcar “inversa” apenas porque uma variável diminui. No GeraProva, eu consigo selecionar a habilidade EF08MA12, variar dificuldade e incluir gabarito comentado, o que torna a correção diagnóstica bem mais rápida sem abrir mão da intencionalidade pedagógica.

Erros que ajudam no diagnóstico

• Confundir relação decrescente com inversa: peça o produto dos pares.
• Ignorar taxa fixa: em V = 5 + 2d, há dependência, mas não proporcionalidade.
• Supor causalidade como proporcionalidade: estudar mais pode ajudar na nota, mas não garante razão constante.
• Trocar direta e inversa: compare “dobrar-dobrar” com “dobrar-metade”.

Para montar versões diferentes da mesma avaliação, costumo partir da página inicial do GeraProva e ajustar contexto, nível cognitivo e quantidade de itens. Isso preserva o objetivo e reduz meu tempo de preparação.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões abaixo formam um conjunto útil porque não repetem o mesmo raciocínio: há classificação de relações cotidianas, leitura de texto, identificação por tabela e análise de expressões algébricas. Todas estão alinhadas à EF08MA12, habilidade que pede reconhecer variações diretas, inversas e não proporcionais, inclusive por sentença algébrica e representação no plano cartesiano. Eu aplicaria as questões 1 e 5 como sondagem inicial, as questões 2, 3 e 4 para verificar transferência a contextos, e a questão 6 como fechamento algébrico. O nível de Bloom informado em cada item também ajuda a equilibrar a prova: não basta acumular questões de lembrança. Ao corrigir, eu usaria os distratores para retomar a ideia de razão constante, produto constante e relações sem proporcionalidade definida.

1. Altura, peso, estudo e nota

Enunciado: Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa e o número de horas de estudo e a nota em uma prova.

• ❌ A) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são proporcionais. Errada: estudar mais não garante aumento da nota em razão constante.
• ❌ B) Ambas são diretamente proporcionais. Errada: nenhuma relação mantém razão constante.
• ❌ C) Ambas são inversamente proporcionais. Errada: os produtos não permanecem constantes.
• ✅ D) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são não proporcionais. Correta: há associação possível, mas não proporcionalidade garantida.
• ❌ E) Altura e peso são diretamente proporcionais; horas e nota são não proporcionais. Errada: altura e peso não têm razão constante.

Dica de resolução: verifique se uma grandeza varia sempre em razão constante ou inversa da outra. Conceito central: grandezas proporcionais e não proporcionais. Conceito para revisão: critérios de proporcionalidade direta e inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Analisar.

2. Trabalhadores e tempo de carregamento

Enunciado: Em uma empresa de transporte, a distância dobra e o combustível também dobra; ao dobrar trabalhadores responsáveis pela carga, o tempo de carregamento cai pela metade; peso e potência aumentam sem fator constante. Qual par é inversamente proporcional?

• ✅ A) Número de trabalhadores e tempo de carregamento. Correta: dobrar trabalhadores reduz o tempo à metade.
• ❌ B) Distância percorrida e tempo de carregamento. Errada: o texto não relaciona essas grandezas.
• ❌ C) Tempo de carregamento e combustível consumido. Errada: não há relação indicada.
• ❌ D) Peso da carga e potência exigida do motor. Errada: não existe fator constante de proporção.
• ❌ E) Distância percorrida e combustível consumido. Errada: elas são diretamente proporcionais.

Dica de resolução: procure o caso em que dobrar uma grandeza reduz a outra pela metade. Conceito central: variação inversamente proporcional. Conceito para revisão: características da variação inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

3. Voluntários e montagem do palco

Enunciado: Com 5 pessoas, uma montagem leva 8 dias; com 10 pessoas, 4 dias; e com 20 pessoas, 2 dias, para a mesma quantidade de trabalho. Classifique a relação entre voluntários e tempo.

• ❌ A) Diretamente proporcional. Errada: as duas grandezas não aumentam juntas.
• ❌ B) Não proporcional e crescente. Errada: o tempo diminui, não cresce.
• ❌ C) Não proporcional e decrescente. Errada: não é apenas decrescente; segue padrão inverso.
• ❌ D) Não se relacionam, pois o tempo é constante. Errada: o tempo varia.
• ✅ E) Inversamente proporcional. Correta: 5×8, 10×4 e 20×2 resultam em 40.

Dica de resolução: multiplique voluntários por dias. Conceito central: relação de grandezas inversamente proporcionais. Conceito para revisão: proporcionalidade direta e inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

4. Motoboys e tempo médio de entrega

Enunciado: Uma pizzaria cobra R$20 por pizza, divide igualmente as entregas entre motoboys e cobra R$5 de taxa fixa mais R$2 por quilômetro. Qual relação é inversamente proporcional?

• ❌ A) Custo total C e número de pizzas n. Errada: é proporcionalidade direta.
• ❌ B) Tempo médio T e distância d. Errada: a relação descrita é direta, não inversa.
• ❌ C) Custo total C e distância d. Errada: C não depende de d.
• ❌ D) Valor pago V e distância d. Errada: a taxa fixa impede proporcionalidade.
• ✅ E) Tempo médio T e número de motoboys m. Correta: mais motoboys repartem a mesma demanda e reduzem o tempo.

Dica de resolução: identifique a variável que aumenta enquanto a outra diminui na mesma razão. Conceito central: variação inversamente proporcional. Conceito para revisão: variação direta e inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Entender.

5. A expressão Y = 3X

Enunciado: Dadas as grandezas X e Y, onde Y = 3X, determine a natureza da relação entre elas.

• ✅ A) Diretamente proporcionais. Correta: Y é sempre três vezes X.
• ❌ B) Inversamente proporcionais. Errada: uma não diminui quando a outra aumenta.
• ❌ C) Não proporcionais. Errada: há uma relação fixa.
• ❌ D) Constantes. Errada: os valores variam.
• ❌ E) Relativas. Errada: essa não é uma classificação matemática adequada aqui.

Dica de resolução: observe que a razão Y/X é sempre 3. Conceito central: relação entre grandezas. Conceito para revisão: relação proporcional entre grandezas. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

6. A expressão H = 4/G

Enunciado: A relação entre as grandezas G e H é expressa por H = 4/G. Classifique essa relação.

• ❌ A) Diretamente proporcionais. Errada: elas não aumentam juntas.
• ✅ B) Inversamente proporcionais. Correta: G×H = 4, produto constante.
• ❌ C) Não proporcionais. Errada: há uma relação definida entre elas.
• ❌ D) Constantes. Errada: G e H variam.
• ❌ E) Relativas. Errada: não é uma classificação válida para a relação.

Dica de resolução: multiplique G por H e encontre 4. Conceito central: relação inversa. Conceito para revisão: propriedades de relações inversas em funções. BNCC: EF08MA12. Bloom: Analisar.

Quantas questões usar em uma avaliação?

Para uma avaliação de 50 minutos, eu usaria entre 6 e 8 questões sobre proporcionalidade, reservando de 3 a 4 delas especificamente para grandezas inversamente proporcionais quando esse for o foco da aula. Se o objetivo for diagnóstico rápido, 4 itens bem escolhidos já funcionam: um de classificação, um com tabela, um contextualizado e um algébrico. O equilíbrio importa mais que o volume: inclua pelo menos um caso não proporcional, como uma tarifa com taxa fixa, para verificar se a turma não está usando a regra “diminuiu, então é inversa”. Nas questões numéricas, eu peço registro do produto constante; nas conceituais, justificativa curta. Depois, separo os erros por tipo e planejo a retomada. Com o cadastro grátis, dá para gerar versões e organizar esse banco de itens sem começar cada lista do zero.

Uma sequência enxuta que funciona

• 2 itens: direta, inversa ou não proporcional.
• 2 itens: tabela e produto constante.
• 1 ou 2 itens: situações contextualizadas com distratores.
• 1 item: expressão do tipo y = k/x.

As questões são um ponto de partida: adapte números, contextos e linguagem à sua turma. Se quiser economizar tempo na montagem e receber itens com dados pedagógicos, vale testar o GeraProva e conferir como ele se encaixa no seu planejamento.