Exercícios de função exponencial com gabarito

Esta atividade de função exponencial foi pensada para turmas do Ensino Médio que já conhecem potenciação e querem praticar cálculos, equações e leitura de situações de crescimento e decaimento. São duas folhas com 18 itens, do reconhecimento inicial à resolução de problemas; a aplicação pode ocupar uma ou duas aulas de cerca de 50 minutos, conforme o tempo reservado à correção.

Como aplicar a atividade de função exponencial?

Use a primeira folha para verificar se a turma calcula potências e interpreta expressões exponenciais. A segunda amplia o trabalho para modelos e classificação de funções. Os alunos podem resolver individualmente e, depois, comparar estratégias em duplas antes da correção coletiva.

Considere como referência a forma f(x) = a · b^x, em que a é um número real diferente de zero e a base b é positiva e diferente de 1. Para interpretar crescimento ou decaimento, observe o sinal de a junto com o valor de b: a regra mais conhecida — base maior que 1 indica crescimento e base entre 0 e 1 indica decaimento — vale diretamente quando a > 0. Se a < 0, a classificação se inverte.

Folha 1 — Potências, valores e leitura da função

Orientação para o aluno: resolva os itens mostrando as etapas principais. Nas questões com função, substitua o valor de x na expressão antes de calcular.

1. Calcule 2³.
2. Calcule 3⁰.
3. Calcule (1/2)⁻².
4. Para f(x) = 5 · 2^x, determine f(3).
5. Resolva 3^x = 27.
6. Resolva 2^{x + 1} = 16.
7. Para f(x) = 4 · 3^x, determine f(0) e f(2).
8. Uma amostra contém 800 unidades e sua quantidade cai pela metade a cada hora. O modelo é Q(t) = 800 · (1/2)^t. Quantas unidades restam após 3 horas?

Folha 2 — Modelos, equações e comportamento

Orientação para o aluno: escreva a operação ou a propriedade usada. Em problemas contextualizados, informe o resultado com a unidade adequada. Para classificar uma função, confira o sinal do coeficiente e o valor da base.

9. Uma população de microrganismos é modelada por P(t) = 200 · 1,5^t. Calcule P(2).
10. Uma máquina tem valor inicial de R$ 640 e perde 25% do valor a cada ano. Pelo modelo V(t) = 640 · 0,75^t, calcule o valor após 2 anos.
11. Resolva 5 · 2^x = 40.
12. Resolva 3^2x = 81.
13. Classifique cada função como crescente ou decrescente: a) f(x) = 2^x; b) g(x) = (1/3)^x. Justifique usando a base.
14. Classifique h(x) = −2 · 2^x como crescente ou decrescente. Calcule h(0) e h(1).
15. Na função p(x) = 6 · (1/2)^x, indique o valor inicial p(0), a base e se a função é crescente ou decrescente.
16. Uma quantidade começa em 100 e dobra a cada período. Em quantos períodos chega a 800? Use A(t) = 100 · 2^t.
17. Resolva 4^x = 1/8.
18. Para f(x) = 2^x, indique o domínio e o conjunto imagem, considerando x real.

Gabarito completo e comentado

Respostas da folha 1

1. 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.
2. Qualquer número não nulo elevado a zero é 1; portanto, 3⁰ = 1.
3. (1/2)⁻² = 2² = 4. O expoente negativo inverte a base.
4. f(3) = 5 · 2³ = 5 · 8 = 40.
5. 27 = 3³, então x = 3.
6. 16 = 2⁴; logo, x + 1 = 4 e x = 3.
7. f(0) = 4 · 1 = 4; f(2) = 4 · 9 = 36.
8. Q(3) = 800 · (1/2)³ = 800/8 = 100 unidades.

Respostas da folha 2

9. P(2) = 200 · 1,5² = 200 · 2,25 = 450 microrganismos, conforme o modelo.
10. V(2) = 640 · 0,75² = 640 · 0,5625 = R$ 360.
11. 2^x = 40/5 = 8 = 2³; portanto, x = 3.
12. 81 = 3⁴, então 3^2x = 3⁴; 2x = 4 e x = 2.
13. a) Crescente, pois a base 2 é maior que 1 e o coeficiente implícito é positivo. b) Decrescente, pois a base 1/3 está entre 0 e 1 e o coeficiente é positivo.
14. Como a base é maior que 1, 2^x cresce; o coeficiente negativo inverte a variação, então h é decrescente. h(0) = −2 · 1 = −2; h(1) = −2 · 2 = −4.
15. p(0) = 6 · 1 = 6; a base é 1/2; como o coeficiente é positivo e a base está entre 0 e 1, a função é decrescente.
16. 100 · 2^t = 800 implica 2^t = 8 = 2³; são necessários 3 períodos.
17. 4^x = (2²)^x = 2^2x e 1/8 = 2⁻³. Assim, 2x = −3 e x = −3/2.
18. O domínio é todos os números reais. Como 2^x é sempre positivo, a imagem é o conjunto dos reais positivos, isto é, ]0, +∞[.

O que os erros mais comuns indicam?

• Tratar expoente zero como resultado zero: retome a relação entre potências de mesma base e a definição de a⁰ = 1, para a diferente de zero. Peça que comparem 3², 3¹ e 3⁰.
• Manter a base no lugar ao calcular expoente negativo: retome a propriedade a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Use frações simples, como (1/2)⁻².
• Somar expoentes em uma equação sem igualar as bases: peça que reescrevam os dois lados com a mesma base, como 16 = 2⁴, antes de comparar expoentes.
• Classificar a função só pela base quando o coeficiente é negativo: compare valores próximos. Neste conjunto, h(0) = −2 e h(1) = −4; a função diminui quando x aumenta. Retome explicitamente que, para a < 0, a classificação se inverte em relação ao comportamento de b^x.
• Confundir valor inicial com a base: em a · b^x, o valor em x = 0 é a, pois b⁰ = 1. Oriente a turma a calcular f(0) para identificar esse valor.

Perguntas frequentes sobre função exponencial

Para qual série esta atividade é indicada?

Para o Ensino Médio, depois do estudo de potenciação e da forma básica da função exponencial. O professor pode selecionar os itens de acordo com o que a turma já trabalhou.

Quanto tempo é necessário para aplicar as duas folhas?

Uma turma que já domina potências pode resolver e corrigir a atividade em uma aula longa ou em duas aulas de cerca de 50 minutos. Se for necessário retomar propriedades, reserve mais tempo para discussão dos itens 14 e 17.

Como identificar crescimento quando o coeficiente é negativo?

Para f(x) = a · b^x, com b > 1, b^x é crescente; se a > 0, f também é crescente, mas, se a < 0, f é decrescente. Para 0 < b < 1, b^x é decrescente; com a > 0, f é decrescente, e com a < 0, f é crescente.