Exercício de logaritmo: questões comentadas para aplicar em aula

Eu já perdi bastante tempo procurando um bom exercício de logaritmo que fosse além do clássico “calcule o valor”. Na minha prática, as questões mais úteis são as que revelam como o estudante está pensando: se ele confunde logaritmo com multiplicação, se sabe reescrever uma potência ou se consegue interpretar uma escala em decibéis.

Quando preparo uma avaliação, não uso logaritmos só como treino algébrico. Eu misturo itens diretos, problemas contextualizados e uma questão mais desafiadora de propriedades. Isso me permite corrigir com mais justiça e retomar exatamente o ponto de dificuldade da turma.

O que um exercício de logaritmo precisa avaliar?

Um bom exercício de logaritmo precisa avaliar, de modo progressivo, a relação entre logaritmo e potenciação, as propriedades operatórias, a mudança de base e a interpretação de situações reais, como decibéis e decaimento exponencial. Para uma turma de ensino médio, eu costumo combinar de 6 a 10 itens: dois de reconhecimento da definição, dois de propriedades e dois ou mais de aplicação. Assim, não confundo falta de domínio de uma técnica específica com dificuldade geral em Matemática. O GeraProva ajuda justamente porque cada questão vem identificada por habilidade, dificuldade e nível de Bloom; com isso, consigo selecionar itens de lembrar, analisar e avaliar sem montar uma prova desequilibrada.

Antes de aplicar, eu observo três erros recorrentes:

• tratar log como uma divisão comum;
• somar decibéis linearmente;
• usar a regra de três em situações de crescimento ou decaimento exponencial.

Esses erros são dados pedagógicos: mostram qual retomada eu preciso fazer.

Como explicar logaritmo sem decorar fórmulas?

Eu explico logaritmo como uma pergunta sobre expoentes: em log₃ 27 = x, a pergunta é “3 elevado a qual número resulta em 27?”. A resposta é 3, pois 3³ = 27. Essa tradução evita a memorização vazia e dá ao aluno uma estratégia que funciona em qualquer base válida. Depois, reforço as condições: a base deve ser positiva e diferente de 1, e o logaritmando deve ser positivo. Só então introduzo propriedades, sempre voltando à potenciação. Por exemplo, log(a·b) vira soma porque aᵖ·aq = aᵖ⁺q. Quando eu parto dessa ideia, a turma entende a origem das regras, em vez de apenas tentar decorar uma lista.

Um passo a passo que funciona

• Reescreva logₐ b = x como aˣ = b.
• Procure potências conhecidas da base.
• Em aplicações, isole a potência antes de usar logaritmo.
• Confira se a resposta faz sentido no contexto e na unidade usada.

Quantas questões usar em uma avaliação de logaritmos?

Eu uso, em geral, 8 questões em uma avaliação de 50 minutos: 3 básicas, 3 intermediárias e 2 que exigem análise de contexto. Essa distribuição permite verificar a definição de logaritmo sem deixar que ela domine a nota e reserva espaço para propriedades, escalas logarítmicas e conexões com funções exponenciais. Se a turma ainda está iniciando o assunto, seis itens bem escolhidos podem ser melhores que uma prova longa; se é revisão para vestibular, acrescento uma questão difícil de manipulação algébrica. No GeraProva, eu filtro por BNCC, dificuldade e Bloom para manter esse equilíbrio e reduzir o tempo de busca. Vale conhecer também a página inicial do GeraProva para organizar a seleção por objetivos.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões abaixo formam uma sequência que eu aplicaria quase sem alterações: começam pela definição, avançam para propriedades e chegam a usos físicos e ambientais. Os comentários dos distratores ajudam muito na correção diagnóstica.

1. Propriedades do logaritmo — FUVEST 2016

Enunciado: Use as propriedades do logaritmo para simplificar S = 1/(2 · log₂ 2016) + 1/(5 · log₃ 2016) + 1/(10 · log₇ 2016). O valor de S é?

BNCC: EM13MAT305 | Bloom: Analisar | Conceito central: propriedades do logaritmo.

• ❌ A) 1/2 — resulta de simplificação incorreta.
• ❌ B) 1/3 — resulta de simplificação incorreta.
• ❌ C) 1/5 — não corresponde à combinação completa dos termos.
• ❌ D) 1/7 — resulta de simplificação incorreta.
• ✅ E) 1/10 — pela mudança de base, os termos formam (1/10)·log₂₀₁₆(2⁵·3²·7) = 1/10.

Dica de resolução: use mudança de base e reúna os coeficientes como expoentes. Conceito para revisão: propriedades e mudança de base dos logaritmos.

2. Nível sonoro de 100 caixas

Enunciado: Uma caixa produz 70 dB e chegam simultaneamente sons de 100 caixas idênticas. Use L = L₀ + 10 log N, com log 100 = 2. Acima de 85 dB, exposições prolongadas exigem proteção. Qual conclusão é correta?

BNCC: EM13CNT306 | Bloom: Avaliar | Conceito central: soma logarítmica de níveis sonoros.

• ❌ A) 170 dB — decibéis não são somados linearmente.
• ❌ B) 72 dB — esquece multiplicar log 100 por 10.
• ✅ C) 90 dB, exigindo proteção; a crítica frankfurtiana pode discutir a padronização cultural do evento.
• ❌ D) 80 dB — o acréscimo é 20 dB, não 10 dB.
• ❌ E) 70 dB — fontes independentes aumentam a intensidade conforme a fórmula.

Dica de resolução: 70 + 10·2 = 90 dB. Conceito para revisão: decibéis, exposição sonora e proteção auditiva.

3. Definição de logaritmo

Enunciado: Se log₃ 27 = x, qual valor de x torna verdadeira a igualdade?

BNCC: EM13MAT305 | Bloom: Lembrar | Conceito central: definição de logaritmo.

• ❌ A) 27 — inverte base e resultado.
• ❌ B) 9 — usa uma potência verdadeira, mas 3² não gera 27.
• ❌ C) 6 — troca exponenciação por multiplicação.
• ✅ D) 3 — pois 3³ = 27.
• ❌ E) 1 — 3¹ é 3, não 27.

Dica de resolução: pergunte qual potência de 3 produz 27. Conceito para revisão: potenciação e expoente.

4. Decaimento de poluente em um lago

Enunciado: A concentração inicial é 100 mg/L e, a cada hora, reduz-se a 90% do valor anterior. Após quantas horas ficará abaixo de 50 mg/L?

BNCC: EM13MAT304 | Bloom: Analisar | Conceito central: decaimento exponencial.

• ✅ A) 7 horas — t = ln(0,5)/ln(0,9) ≈ 6,58; a próxima hora inteira é 7.
• ❌ B) 6 horas — 0,9⁶ ≈ 0,53, ainda acima de 50 mg/L.
• ❌ C) 10 horas — ultrapassa o tempo necessário.
• ❌ D) 8 horas — superestima, pois a queda ocorre antes.
• ❌ E) 5 horas — subestima o efeito acumulado.

Dica de resolução: modele C(t)=100·0,9ᵗ e compare com 50. Conceito para revisão: funções exponenciais e decaimento.

5. Comparação de intensidades sonoras

Enunciado: No Ponto A há 80 dB e no Ponto B, 65 dB. Sabendo que L = 10·log₁₀(I/I₀), em quantas vezes a intensidade em A é maior?

BNCC: EM13MAT305 | Bloom: Analisar | Conceito central: intensidade sonora e decibéis.

• ❌ A) 5,62 vezes — usa divisor 20 indevidamente.
• ❌ B) 1,23 vezes — confunde razão de dB com razão de intensidades.
• ✅ C) 31,6 vezes — 10^((80−65)/10)=10^1,5 ≈ 31,6.
• ❌ D) 1000 vezes — não divide a diferença por 10.
• ❌ E) 150 vezes — multiplica a diferença em vez de usar potência.

Dica de resolução: subtraia os níveis e transforme a diferença em potência de 10. Conceito para revisão: relação logarítmica entre intensidade e decibéis.

6. Aumento de 60 dB para 80 dB

Enunciado: Um nível sonoro passa de 60 dB para 80 dB. Em quantas vezes a intensidade final é maior?

BNCC: EM13MAT305 | Bloom: Analisar | Conceito central: intensidade sonora e decibéis.

• ✅ A) 100 vezes — 10^((80−60)/10)=10²=100.
• ❌ B) 1000 vezes — calcula 10²⁰, sem dividir por 10.
• ❌ C) 200 vezes — multiplica dB por 10 diretamente.
• ❌ D) 20 vezes — trata dB como escala linear.
• ❌ E) 10 vezes — considera apenas metade da diferença real.

Dica de resolução: use a diferença de 20 dB na razão das intensidades. Conceito para revisão: escala logarítmica dos decibéis.

Como transformar os erros em retomada de aula?

Eu não devolvo apenas a alternativa correta. Se muitos alunos marcam a opção que divide por 20 em uma questão de som, eu retomo a fórmula e comparo explicitamente grandezas de intensidade com grandezas de amplitude; se confundem 80/65 com a razão das intensidades, mostro que decibel é escala logarítmica. Para os erros de definição, peço que todos convertam cinco expressões logarítmicas em potências antes de fazer contas. Essa prática curta, de 10 minutos, costuma ser mais eficiente que repetir uma lista inteira. Ao gerar versões diferentes no GeraProva, eu também evito que a retomada vire cópia da prova anterior.

Estas questões são um ponto de partida para eu adaptar ao ritmo da turma, não um substituto da minha mediação. Se você quiser montar uma avaliação com BNCC, dificuldade e gabarito comentado em menos tempo, faça um cadastro grátis e teste o GeraProva.