Estudo dos sinais da função do 1º grau: exercícios comentados

Quando comecei a ensinar o estudo dos sinais da função do 1º grau, percebi que a maioria dos alunos decorava a regra "positivo antes da raiz, negativo depois" sem entender de onde ela vinha. Na prova, qualquer mudança no enunciado derrubava todo mundo. Mudei a estratégia: passei a partir do gráfico e só depois chegava à tabela de sinais.

Nesse post, eu reuno o caminho que uso na sala de aula e seis exercícios comentados que já apliquei. Eles vieram da base de questões do GeraProva, plataforma que eu uso para montar provas e listas, e você pode testar o mesmo fluxo com seus alunos.

O que é o estudo dos sinais da função do 1º grau?

O estudo dos sinais da função do 1º grau é a análise de para quais valores de x a função f(x) = ax + b é positiva, negativa ou nula. O ponto de partida é a raiz, o valor de x que anula a função, obtido por x = -b/a. A partir dela, o sinal depende apenas de dois fatores: o sinal do coeficiente angular a e o lado da reta em relação ao eixo x. Se a é positivo, a função é crescente e fica negativa à esquerda da raiz e positiva à direita. Se a é negativo, acontece o contrário. Com essa leitura, você resolve qualquer exercício do tema sem depender de memorização mecânica.

Por que começar pelo gráfico?

Quando o aluno desenha a reta, ele enxerga o comportamento antes de calcular. Eu peço sempre um esboço rápido, mesmo que aproximado, marcando apenas a raiz e a direção da reta. Isso evita a inversão de sinais, o erro mais comum que vejo nas correções.

Como montar a tabela de sinais na prática?

Para montar a tabela, siga quatro passos simples:

• Passo 1: calcule a raiz da função, fazendo f(x) = 0.
• Passo 2: identifique o sinal de a (crescente se positivo, decrescente se negativo).
• Passo 3: escreva uma linha com os valores de x, marcando a raiz no meio.
• Passo 4: preencha os sinais de cada intervalo, testando um valor de x à esquerda e outro à direita da raiz quando tiver dúvida.

Esse último passo, o teste com um valor concreto, é o que mais dá segurança. Eu sempre mando o aluno substituir um número simples, como zero ou um, para confirmar o sinal.

Quantos exercícios usar para fixar o conteúdo?

Na minha experiência, cinco a seis questões bem escolhidas fixam melhor do que uma lista longa de contas repetidas. Prefiro misturar questões de aplicação, em que o aluno calcula e interpreta, com questões de pertinência de pontos e leitura de gráfico. Quando monto uma lista de seis questões no GeraProva, consigo variar a dificuldade e o tipo de raciocínio sem ter que escrever tudo do zero. Você pode criar a sua conta de graça em cadastro grátis e testar essa variação com a sua turma.

Questões prontas com gabarito comentado

A seguir estão as seis questões que usei, com alternativas, explicação do gabarito e dica de resolução. Em cada uma eu indico a habilidade da BNCC e o nível cognitivo de Bloom, para você saber exatamente o que está sendo avaliado.

Questão 1: Relação entre horas de estudo e notas

Em uma pesquisa, a relação entre o número de horas estudadas e as notas obtidas foi registrada. Se cada hora de estudo aumenta a nota em 5 pontos e o aluno começou com 50 pontos, qual é a função que representa essa relação?

• ❌ A) N(h) = 50h — Essa função sugere que a nota inicial depende das horas, o que está incorreto.
• ✅ B) N(h) = 5h + 50 — Essa representa corretamente a relação entre horas e notas.
• ❌ C) N(h) = h + 50 — Aqui, cada hora só acrescenta 1 ponto, que não é o caso.
• ❌ D) N(h) = 5 + 50h — Essa função sugere que a nota não depende linearmente das horas.
• ❌ E) N(h) = 100 - 5h — Essa é uma função decrescente, que não se aplica aqui.

Dica de resolução: identifique a relação linear entre horas estudadas e notas. Conceito central: função linear. Para revisão: como construir funções lineares a partir de dados. BNCC: EF09MA06. Nível de Bloom: Analisar.

Questão 2: Função linear a partir de cinco registros

Dados de uma plataforma de tutoria online mostram a relação entre o número de horas de estudo e a nota em um teste padronizado de cinco alunos. Os registros indicam: aluno A estudou 2 horas e obteve 56 pontos; B, 4 horas e 64 pontos; C, 6 horas e 72 pontos; D, 8 horas e 80 pontos; E, 10 horas e 88 pontos. Esses dados sugerem um comportamento linear entre horas de estudo e desempenho.

Crie a função linear que melhor representa a relação entre horas de estudo e nota dos alunos?

• ❌ A) 3x + 52 — Slope incorreto (3 em vez de 4) e intercept insuficiente para ajustar o ponto inicial.
• ❌ B) 2x + 60 — Slope muito baixo e intercept elevado; não ajusta nenhuma das observações propostas.
• ✅ C) 4x + 48 — A inclinação é (64-56)/(4-2)=4 e o coeficiente linear é 56-4·2=48, ajustando todos os pontos.
• ❌ D) 4x + 44 — Slope correto, mas intercept errado: deve ser 56-4·2=48, não 44.
• ❌ E) 5x + 50 — Slope incorreto: (64-56)/(4-2)=4, não 5; geraria notas acima dos dados.

Dica de resolução: calcule o coeficiente angular e o coeficiente linear a partir dos dados. Conceito central: função linear e coeficiente angular. Para revisão: determinar a função afim a partir de pontos dados. BNCC: EM13MAT510. Nível de Bloom: Criar.

Questão 3: Pertinência de ponto à reta y = 2x + 1

Em uma atividade de Matemática, a relação entre duas grandezas foi registrada pela regra y = 2x + 1. Alguns pares ordenados foram testados para representar pontos dessa relação no plano cartesiano.

Com base na regra y = 2x + 1, qual é a característica dos pontos que pertencem à reta representada por essa equação?

• ❌ A) Pertencem à reta os pontos em que a soma das coordenadas é igual a 2x + 1, pois toda expressão da reta pode ser interpretada como soma dos valores. — O aluno confunde a forma da equação com uma regra de soma entre coordenadas.
• ✅ B) Pertencem à reta os pontos cujas coordenadas, ao serem substituídas na equação, tornam a igualdade verdadeira, isto é, o valor de y é o dobro de x mais 1. — Expressa a condição correta de pertinência à reta.
• ❌ C) Pertencem à reta os pontos em que o valor de x é sempre o dobro de y menos 1, pois a relação pode ser lida ao contrário. — O aluno inverte a relação entre as variáveis.
• ❌ D) Pertencem à reta os pontos que formam um desenho de linha crescente no plano, mesmo que não satisfaçam exatamente a equação dada. — O aluno se apoia na ideia visual e ignora a condição matemática essencial.
• ❌ E) Pertencem à reta os pontos cujas coordenadas aumentam de 2 em 2, porque o coeficiente da equação indica sempre esse crescimento nas duas coordenadas. — O aluno generaliza o coeficiente angular para as duas coordenadas ao mesmo tempo.

Dica de resolução: substitua um ponto na equação e veja se a igualdade se mantém. Conceito central: pertinência de ponto à reta. Para revisão: equação do primeiro grau. BNCC: EF06MA16. Nível de Bloom: Aplicação.

Questão 4: Reta associada a 2x + y = 12 na feira de jogos

— Para usar todos os créditos do estande, não basta escolher uma única combinação — explicou a monitora da feira de jogos matemáticos. Cada ficha azul custa 2 créditos, e cada ficha verde custa 1 crédito. Um participante recebeu 12 créditos e deve gastá-los integralmente. No painel digital, x indica a quantidade de fichas azuis e y, a de fichas verdes. Embora as escolhas reais sejam números inteiros não negativos, o painel prolonga a representação para mostrar a reta associada à equação 2x + y = 12 no plano cartesiano. A monitora pediu aos participantes que verificassem os pontos de passagem dessa reta antes de selecionar as combinações possíveis.

Analise a equação apresentada no texto e identifique a descrição que representa a reta associada a ela no plano cartesiano.

• ❌ A) A reta que passa pelos pontos (0, 12) e (0, 6). — Erro de representação de uma reta vertical. Os dois pontos têm x = 0, mas apenas (0, 12) satisfaz a equação.
• ❌ B) A reta que passa pelos pontos (0, -12) e (-6, 0). — Erro de sinal ao isolar as variáveis. Os interceptos da equação são positivos.
• ✅ C) A reta que passa pelos pontos (0, 12) e (6, 0). — Para x = 0, y = 12; para y = 0, x = 6. Os dois pontos satisfazem 2x + y = 12.
• ❌ D) A reta que passa pelos pontos (0, 0) e (6, 12). — Erro de proporcionalidade direta. O ponto (0, 0) não satisfaz a equação.
• ❌ E) A reta que passa pelos pontos (0, 6) e (12, 0). — Erro de interpretação dos coeficientes como interceptos. Substituir x = 0 resulta em y = 12, e não em y = 6.

Dica de resolução: analise a equação e interprete o significado dos coeficientes no plano cartesiano. Conceito central: equação da reta no plano cartesiano. Para revisão: equações lineares e interpretação geométrica. BNCC: EF08MA07. Nível de Bloom: Aplicar.

Questão 5: Verificando y = ax² com quatro pares

Em uma atividade de modelagem, estudantes analisaram uma grandeza y que depende de uma medida x. Os resultados experimentais foram organizados nos seguintes pares: (0, 0), (1, 3), (2, 12) e (3, 27). Para verificar um modelo quadrático simples, eles consideraram a expressão y = ax², em que a é uma constante.

Com base nos dados do experimento, verifique se todos os pares pertencem a uma função da forma y = ax² e determine o valor de a.

• ❌ A) Sim. a = 6, portanto y = 6x² — O erro consiste em calcular y/x usando o par (2, 12), sem considerar o x² no denominador.
• ❌ B) Sim. a = 9, portanto y = 9x² — O erro consiste em dividir o último valor de y por x, calculando 27/3 = 9, em vez de dividir por 3².
• ✅ C) Sim. a = 3, portanto y = 3x² — Nos pares (1, 3), (2, 12) e (3, 27), obtém-se 3/1² = 3, 12/2² = 3 e 27/3² = 3. Para x = 0, y = 3 · 0² = 0. Todos os pares pertencem à função y = 3x².
• ❌ D) Sim. a = 12, portanto y = 12x² — O erro consiste em tomar o valor de y correspondente a x = 2 como se fosse o coeficiente constante.
• ❌ E) Não. Os valores de y não mantêm a mesma razão com x² — O erro consiste em comparar inadequadamente os valores; as razões 3/1², 12/2² e 27/3² são todas iguais a 3.

Dica de resolução: substitua os pares na equação para encontrar a. Conceito central: função quadrática. Para revisão: forma de funções quadráticas e determinação de coeficientes. BNCC: EM13MAT502. Nível de Bloom: Lembrar.

Questão 6: Pontos da equação y = x + 2

Uma estudante registrou alguns pares de valores para a relação y = x + 2: (0,2), (1,3), (2,4) e (3,5). Ao marcar esses pontos no plano cartesiano, ela observa um alinhamento.

Com base no texto-base, o que esses pontos representam em relação à equação y = x + 2?

• ❌ A) Esses pontos mostram que a relação vale somente para os números de 0 a 3. — O aluno extrapola o conjunto mostrado e transforma exemplos em limite da regra.
• ❌ B) Esses pontos apenas indicam valores próximos, mas não garantem que pertençam à mesma reta. — O aluno ignora que cada par satisfaz exatamente a equação.
• ✅ C) Esses pontos satisfazem a equação e formam, no plano cartesiano, uma mesma reta. — Os pares ordenados são soluções da equação e pertencem à mesma reta.
• ❌ D) Esses pontos existem porque foram marcados no plano cartesiano, e por isso passaram a obedecer à equação. — O aluno inverte a ordem lógica: primeiro os pares satisfazem a equação; depois aparecem alinhados.
• ❌ E) Esses pontos representam a medida da inclinação da reta, e não soluções da equação. — O aluno confunde pontos do gráfico com a inclinação da reta.

Dica de resolução: verifique se os pares satisfazem a regra dada. Conceito central: solução de equação e reta no plano. Para revisão: pares ordenados e representação gráfica. BNCC: EF06MA16. Nível de Bloom: Compreensão.

Como eu uso essas questões em sala?

Eu costumo projetar a questão, pedir que os alunos resolvam em duplas por cinco minutos e só então mostrar o gabarito comentado. A parte mais valiosa é discutir os distratores: quando o aluno entende por que a alternativa C está errada, ele para de cometer aquele erro. Em uma turma do 9º ano, fiz isso com a questão 4 e o número de alunos que trocavam os interceptos caiu visivelmente na prova seguinte.

Também vale pedir que o aluno esboce o gráfico antes de marcar a resposta, principalmente nas questões de pertinência e de sinais. Isso transforma a atividade em exercício de visualização, e não apenas de cálculo.

Vale a pena montar a lista com ferramenta de IA?

Sim, desde que você revise tudo. Quando gero uma lista no GeraProva, ela já vem com a habilidade da BNCC, o nível de Bloom e o gabarito explicado, o que me poupa horas de digitação. Mesmo assim, eu sempre confiro os cálculos e ajusto a dificuldade para a minha turma. A ferramenta economiza tempo na montagem; a decisão pedagógica continua sendo sua.

Se quiser testar com seus próprios alunos, comece pela página inicial do GeraProva e crie sua conta gratuita em cadastro grátis. Gere uma lista sobre o estudo dos sinais, compare com o que você já usa e veja qual funciona melhor na sua sala.