Atividades: princípio multiplicativo e probabilidades do espaço amostral na 1ª série do Ensino Médio com gabarito

Quando trabalho contagem na 1ª série do Ensino Médio, procuro começar por situações em que as escolhas aparecem em etapas: formar uma senha, compor uma bebida ou selecionar propostas para um grupo. Nesses problemas, não basta olhar para os números e decidir automaticamente se é para somar ou multiplicar. A turma precisa identificar o que está sendo escolhido, quais restrições existem e se a ordem importa.

Este conjunto reúne questões de contagem relacionadas à habilidade EM13MAT310. Embora o assunto indicado também mencione a soma das probabilidades dos elementos de um espaço amostral, as oito questões fornecidas avaliam principalmente o princípio multiplicativo, combinações e a soma de casos distintos. Por isso, uso os itens para trabalhar esses conceitos com clareza e, quando pertinente, faço a ponte com a construção de um espaço amostral e suas probabilidades.

O que o aluno de 1ª série precisa saber sobre princípio multiplicativo da contagem e espaço amostral

Na 1ª série, espero que o aluno reconheça quando uma situação exige escolhas sucessivas e represente cada etapa com o número de opções disponível. Se uma senha tem duas letras e um algarismo, por exemplo, contamos as escolhas de cada posição e multiplicamos, ajustando a quantidade quando há uma restrição, como não repetir letras. Já quando o problema apresenta alternativas de formato — com sufixo ou sem sufixo, por exemplo — calculamos cada caso separadamente e somamos os resultados, desde que os casos não se sobreponham. Também é importante distinguir combinações, em que trocar a ordem não cria um novo grupo, de situações em que as posições tornam a ordem relevante. Para conectar a contagem às probabilidades, podemos considerar resultados igualmente possíveis: a probabilidade de cada resultado elementar soma 1 no espaço amostral. As questões desta página se concentram na contagem que pode ajudar a organizar esse espaço, não em cálculos explícitos de probabilidades.

O que ele precisa saber antes

Antes de aplicar os princípios de contagem, vale conferir se a turma consegue multiplicar números naturais e contar possibilidades por posição. Isso aparece diretamente em senhas, PINs e códigos, nos quais cada lugar tem um conjunto de opções próprio. Para os problemas com grupos, é útil retomar a combinação simples e a ideia de que a ordem não altera um par ou trio. Nas atividades que envolvem um gráfico, os estudantes também precisam ler os valores representados e identificar qual grandeza corresponde a cada coordenada. Por fim, ao somar casos, devem compreender que há formatos distintos e que cada possibilidade precisa ser incluída uma vez.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente nestes itens é somar opções de etapas que precisam ocorrer juntas. Para criar uma senha com letra e número, por exemplo, escolhemos uma opção para cada posição: são combinações, portanto multiplicamos. Outro tropeço é ignorar uma restrição, como a proibição de repetir letras, ou contar como diferentes dois trios que contêm as mesmas propostas em ordem trocada.

Também observo, ao corrigir atividades desse tipo, que pode haver confusão entre contar um grupo de opções e contar o total de grupos que se formam com essas opções. Na questão das duplas, não basta somar profissionais de setores diferentes: é preciso combinar cada profissional de Enfermagem com cada atendente elegível. Nos problemas com dois formatos de código, o caminho é calcular separadamente as possibilidades de cada formato e somar. Multiplicar os totais dos formatos entre si não representa uma escolha válida. Esses erros ajudam a diagnosticar se o aluno compreendeu a estrutura do problema ou apenas tentou operar com os números apresentados.

Como trabalhar em sala

• Organize as escolhas por etapas: peça que a turma marque cada posição ou categoria e registre quantas opções há em cada uma. Só depois de explicitar as etapas, decidam juntos se a multiplicação representa o processo.
• Compare com e sem repetição: use uma senha curta de letras e algarismos. Faça os alunos explicarem por que a quantidade de opções muda de uma posição para outra quando não se pode repetir um caractere.
• Discuta se a ordem importa: compare um trio de propostas com uma sequência de letras para código. No trio, trocar a ordem não cria outro grupo; em posições de senha, cada lugar tem uma função definida.
• Separe formatos alternativos: para códigos que podem ter dois formatos, desenhe dois ramos no quadro. Calcule cada ramo e some os totais, destacando que são casos diferentes.
• Peça justificativas para os distratores: em vez de apenas marcar a resposta correta, convide os alunos a explicar o raciocínio que pode produzir uma alternativa errada. Assim, fica mais fácil identificar se o problema foi omitir uma etapa, somar em vez de multiplicar ou considerar a ordem indevidamente.

Questões prontas de princípio multiplicativo da contagem e espaço amostral para a 1ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

As atividades a seguir permitem trabalhar contagem por etapas, restrições de repetição, combinações e soma de casos disjuntos. Em cada questão, a explicação das alternativas explicita o raciocínio esperado e os equívocos que o item ajuda a identificar.

1. Senha com duas letras diferentes e um número

Clara e Júlio decidiram criar uma senha para um cofre com duas letras, escolhidas entre A, B e C, e um número de 1 a 4. A primeira e a segunda posição recebem letras, sem repetição; a terceira recebe o número. Quantas senhas atendem às condições?

• ❌ A) 36. Permite que as duas letras sejam iguais: conta 3 opções para cada letra e 4 para o número.
• ❌ B) 9. Considera as escolhas das letras com repetição e ainda deixa de contar as opções do número.
• ❌ C) 12. Conta a primeira letra e o número, mas omite as possibilidades para a segunda letra.
• ❌ D) 10. Soma as opções de cada posição, em vez de multiplicar as escolhas sucessivas.
• ✅ E) 24. Há 3 opções para a primeira letra, 2 para a segunda, pois não pode repetir a primeira, e 4 para o número. Logo, 3 × 2 × 4 = 24.

Gabarito comentado: o ponto principal é atualizar a quantidade de opções na segunda posição por causa da restrição. A multiplicação conta todas as sequências possíveis que respeitam as condições.

2. Trio de propostas para uma cédula

Sete propostas foram habilitadas para uma consulta do orçamento participativo: duas são de mobilidade urbana e cinco tratam de praças e áreas de convivência. A cédula terá trios com exatamente uma proposta de mobilidade e duas de convivência. A ordem não cria um novo trio. Qual estimativa está correta?

• ❌ A) 25 trios. Retirar trios sem mobilidade não elimina necessariamente os que têm duas propostas de mobilidade, embora se exija exatamente uma.
• ❌ B) 40 trios. Conta como diferentes as duas ordens possíveis para o mesmo par de propostas de convivência.
• ❌ C) 10 trios. Conta os pares entre as cinco propostas de convivência, mas omite as duas escolhas de mobilidade.
• ❌ D) 12 trios. Soma as duas propostas de mobilidade aos dez pares de convivência; as escolhas precisam ser combinadas, não somadas.
• ✅ E) 20 trios. Há 2 escolhas para mobilidade e 10 pares possíveis entre as 5 propostas de convivência; portanto, 2 × 10 = 20.

Gabarito comentado: como a ordem dos elementos do trio não importa, primeiro contamos os pares de convivência sem duplicar as ordens. Depois, cada par pode ser combinado com uma das duas propostas de mobilidade.

3. Formação de duplas no mutirão de saúde

Em um mutirão municipal, cada dupla terá um profissional da Enfermagem e um atendente da Recepção ou da Farmácia. O gráfico citado no enunciado indica 5 atendentes na Recepção, 3 na Farmácia e 8 profissionais da Enfermagem. Quantas duplas diferentes podem ser formadas?

• ❌ A) 40. Multiplica a Recepção pela Enfermagem, mas ignora os atendentes da Farmácia.
• ✅ B) 64. Há 5 + 3 = 8 atendentes possíveis e 8 profissionais da Enfermagem. Assim, 8 × 8 = 64 duplas.
• ❌ C) 16. Soma as quantidades dos setores envolvidos, sem contar as combinações entre os integrantes.
• ❌ D) 120. Multiplica os três setores, como se a dupla precisasse incluir dois atendentes, contrariando a composição pedida.
• ❌ E) 12. Confunde o total de pessoas selecionáveis em alguns setores com a quantidade de duplas possíveis.

Gabarito comentado: primeiro juntamos as duas opções válidas de atendente, pois a pessoa pode vir da Recepção ou da Farmácia. Em seguida, combinamos cada atendente com cada profissional da Enfermagem.

4. Comparação de combos em uma cozinha solidária

Cada ponto de um gráfico representa um polo e informa a quantidade de tipos de prato e de bebida disponíveis. Um combo usa um prato e uma bebida do mesmo polo. Entre os pontos (7,3), (3,8), (5,5), (6,4) e (4,6), em qual há mais combos?

• ❌ A) No ponto (7,3). O produto é 7 × 3 = 21, menor que o maior total.
• ❌ B) No ponto (3,8). O produto é 3 × 8 = 24, não supera 25.
• ✅ C) No ponto (5,5). Há 5 × 5 = 25 combos, o maior produto entre os pontos apresentados.
• ❌ D) No ponto (6,4). O resultado é 6 × 4 = 24; uma soma alta não determina o total de combos.
• ❌ E) Nos pontos (4,6) e (6,4). Ambos produzem 24 combos, abaixo de 25.

Gabarito comentado: é preciso interpretar cada coordenada como uma quantidade de opções de uma categoria e multiplicar. Comparar somente pratos ou bebidas isoladamente não responde à pergunta sobre combos.

5. PIN de quatro dígitos sem repetição

Mariana quer usar um PIN de quatro dígitos escolhidos entre 0 e 9, sem repetir algarismos. O total pode ser calculado por 10 × 9 × 8 × 7. Qual é o número de códigos possíveis?

• ❌ A) 504. Não corresponde ao produto indicado; é um resultado incorreto de escala no cálculo.
• ❌ B) 10000. Corresponde ao caso com repetição, pois calcula 10 × 10 × 10 × 10.
• ❌ C) 720. É um cálculo que não representa as quatro escolhas sucessivas entre os dez algarismos disponíveis.
• ✅ D) 5040. Calculando 10 × 9 × 8 × 7, obtemos 5040 PINs sem repetição.
• ❌ E) 362880. Esse valor equivale a 9!, operação que não representa a contagem pedida.

Gabarito comentado: a cada posição preenchida, um algarismo deixa de estar disponível. Por isso, o número de opções diminui de 10 para 9, depois 8 e 7.

6. Dois formatos de código para o museu

Um código pode ter duas letras seguidas de um dígito, com 26 opções para cada letra e 10 para o algarismo. O museu também oferece códigos de uma letra seguida de dois dígitos. Quantos códigos diferentes podem ser gerados ao todo?

• ❌ A) 2600. Considera apenas o formato alternativo e deixa de somar os códigos com duas letras e um dígito.
• ❌ B) 93600. Multiplica o total correto por 10 novamente, como se existisse mais uma posição.
• ✅ C) 9360. O primeiro formato tem 26 × 26 × 10 = 6760 códigos; o segundo tem 26 × 10 × 10 = 2600. Somando os formatos, são 9360.
• ❌ D) 6760. Conta somente códigos com duas letras seguidas de um dígito e omite os alternativos.
• ❌ E) 936. Soma opções de letras e dígitos em vez de multiplicar as escolhas de cada formato.

Gabarito comentado: cada formato representa um caso distinto. Multiplicamos as opções dentro de cada formato e somamos os subtotais para encontrar o total de códigos.

7. Combinações de chá personalizadas

Durante uma feira, um barista oferece 3 sabores de chá, 2 tipos de mel e 2 formas de adicionar limão, com ou sem. Cada bebida leva exatamente uma opção de cada categoria. Quantas combinações podem ser preparadas?

• ❌ A) 24. Multiplica por 4 em vez de considerar 2 opções em uma das categorias.
• ✅ B) 12. As escolhas são independentes: 3 × 2 × 2 = 12 combinações.
• ❌ C) 7. Soma 3 + 2 + 2, mas essa soma não conta combinações compostas por uma escolha de cada categoria.
• ❌ D) 14. Agrupa as opções de maneira inadequada e não aplica o produto das três categorias.
• ❌ E) 10. Combina incorretamente uma parte das opções e deixa de considerar todas as escolhas possíveis.

Gabarito comentado: como cada bebida recebe uma escolha de cada categoria, cada sabor pode ser combinado com os dois tipos de mel e as duas formas de limão. O princípio multiplicativo dá o total.

8. Nomes de snippets com ou sem sufixo

Um nome de snippet é formado por um verbo, seguido de um objeto, e pode ter um sufixo opcional. Há 3 verbos, 4 objetos e 2 sufixos. As formas permitidas são verbo + objeto ou verbo + objeto + sufixo. Quantos nomes distintos podem ser criados?

• ❌ A) 18. Calcula 3 × (4 + 2), somando categorias que ocupam posições distintas e representam etapas diferentes.
• ❌ B) 14. Soma verbos e objetos antes de multiplicar por sufixos, sem modelar as formas permitidas.
• ❌ C) 12. Conta apenas verbo e objeto e ignora os nomes que incluem sufixo.
• ✅ D) 36. Sem sufixo há 3 × 4 = 12 nomes. Com sufixo há 3 × 4 × 2 = 24. Somando os dois casos, temos 36.
• ❌ E) 24. Conta apenas os nomes que incluem sufixo e deixa de incluir os que terminam após o objeto.

Gabarito comentado: o sufixo é opcional, então há dois casos: nomes sem sufixo e nomes com sufixo. Calculamos cada grupo com multiplicação e somamos os resultados.

Próximos passos

Você pode aplicar as questões em sequência, começando por escolhas em posições e avançando para restrições, combinações e casos alternativos. Para ampliar a prática alinhada à habilidade, consulte também as questões da habilidade EM13MAT310. Se quiser montar uma avaliação com itens adequados ao seu planejamento, experimente o gerador de provas do GeraProva e faça seu cadastro grátis.

Use este material como ponto de partida: adapte os enunciados ao ritmo e às necessidades da sua turma e retome os conceitos que aparecerem nas justificativas. O GeraProva pode ajudar você a preparar novas atividades com gabarito.