Atividades de Dízimas periódicas: fração geratriz para o 8º ano com gabarito

Quando trabalho dízimas periódicas no 8º ano, procuro deixar claro que as reticências não são um detalhe: elas indicam que a repetição continua. Essa leitura muda a forma de representar o número e ajuda a distinguir uma dízima de um decimal finito. Em sala, começo por exemplos simples e avanço para casos em que existe uma parte decimal que não se repete antes do período.

Também costumo observar se a turma consegue explicar o procedimento, não apenas chegar a uma fração. Multiplicar por potências de 10 e subtrair expressões equivalentes torna a repetição visível e permite obter a fração geratriz. As questões a seguir percorrem esses passos, incluindo identificação de numerador e denominador, simplificação e leitura cuidadosa do período. Elas podem servir para uma atividade de aula, revisão ou avaliação.

O que o aluno de 8º ano precisa saber sobre Dízimas periódicas: fração geratriz

No 8º ano, o aluno precisa reconhecer que uma dízima periódica é uma representação decimal infinita em que um algarismo ou bloco de algarismos se repete. A fração geratriz é a fração equivalente a essa representação; quando solicitada na forma irredutível, numerador e denominador não têm divisor comum além de 1. Nas dízimas simples, o período começa logo depois da vírgula: por exemplo, em 0,333..., repete-se o 3. Nas compostas, há uma parte não periódica antes do período, como em 0,12222..., em que o 2 se repete depois do primeiro algarismo decimal. Uma estratégia geral é chamar o número de x, multiplicá-lo por potências de 10 para alinhar as partes repetidas e subtrair as equações. A subtração elimina a repetição e permite escrever x como fração. Depois, é preciso simplificar e conferir se a representação decimal corresponde ao número original.

O que ele precisa saber antes

As questões mobilizam conhecimentos que vale retomar antes de cobrar procedimentos mais longos. O primeiro é a leitura da representação decimal periódica: identificar onde a repetição começa e qual é o bloco que se repete. Um zero antes do período ou um algarismo não periódico muda a posição das casas e não pode ser ignorado.

Também são necessários o uso de potências de dez para deslocar a vírgula, operações com números decimais e subtração de expressões com a mesma parte periódica. Para concluir, o aluno precisa compreender frações equivalentes e simplificação: dividir numerador e denominador pelo mesmo divisor comum preserva o valor da fração. Antes da atividade, posso propor exemplos curtos de cada pré-requisito e pedir que a turma indique, sem calcular, qual trecho é o período.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente nas questões é tratar uma dízima como se fosse decimal finito. Assim, 0,333... pode ser confundido com 0,3, e 0,123123... com 0,123. Em ambos os casos, a fração escolhida representa apenas o decimal que termina, não a repetição infinita. As reticências precisam ser interpretadas como parte da informação matemática.

Outro ponto de atenção é aplicar a regra de uma dízima simples a uma composta. Em 2,04444..., o zero inicial depois da vírgula não faz parte do período: o 4 é que se repete. Se a turma ignora essa casa não periódica, pode escolher uma fração correspondente a outro número. A mesma dificuldade aparece em 1,42525252..., em que o 4 vem antes do período 25. Alinhar corretamente as repetições antes de subtrair evita trocar o resultado.

Também observo confusões entre numerador e denominador e simplificações incorretas. Em 0,636363..., por exemplo, a fração obtida inicialmente é 63/99, mas a forma reduzida é 7/11. Se a pergunta solicita o numerador, é preciso responder 7, não copiar o período ou o denominador. As alternativas comentadas ajudam a localizar se a dificuldade está na leitura, na montagem da fração ou na simplificação.

Como trabalhar em sala

• Marcar o período: escreva alguns decimais no quadro e peça que os alunos circulem o bloco repetido e indiquem se há algarismos não periódicos antes dele. É uma preparação rápida para os cálculos.
• Comparar decimal finito e periódico: coloque lado a lado 0,3 e 0,333... ou 0,123 e 0,123123...; peça que expliquem por que as reticências alteram a representação. O objetivo é ler a notação antes de aplicar uma regra.
• Modelar a subtração: resolva um exemplo simples como x = 0,333... e mostre a multiplicação por 10 e o cancelamento da parte repetida. Depois, a turma pode justificar por que escolheu cada potência de dez.
• Avançar para dízimas compostas: use um exemplo como 0,12222... e compare 10x com 100x. Peça que identifiquem o que se alinha e por que a diferença elimina o período.
• Fechar com conferência: depois de simplificar a fração, peça uma estimativa ou a conversão decimal para verificar se o resultado faz sentido. A correção pode ser feita em duplas, explicando o erro que cada alternativa representa.

Questões prontas de Dízimas periódicas: fração geratriz para o 8º ano (com gabarito comentado)

As oito questões abaixo trabalham progressivamente a leitura do período, a conversão por subtração e a simplificação. As explicações das alternativas incorretas ajudam a transformar a correção em uma retomada do raciocínio, em vez de apenas revelar a resposta.

1. Escreva a fração geratriz, na forma irredutível, de 0,333...

• ❌ A) 3/10. Isso representa o decimal exato 0,3, não a dízima 0,333...
• ❌ B) 1/9. Essa fração gera 0,111..., e não 0,333....
• ✅ C) 1/3. Como 0,333... = 3/9, a simplificação resulta em 1/3.
• ❌ D) 33/100. Representa 0,33, um decimal finito.
• ❌ E) 3/99. Gera 0,030303..., pois o período é deslocado em relação ao número apresentado.

Resolução: Para a dízima simples, 0,333... = 3/9. Dividindo numerador e denominador por 3, obtemos 1/3.

2. Escreva a fração geratriz irredutível correspondente a 2,04444..., em que o algarismo 4 se repete a partir da segunda casa decimal.

• ❌ A) 202/99. Trata “04” como período completo e representaria 2,040404..., não o número indicado.
• ❌ B) 204/100. Corresponde a 2,04 e ignora a repetição infinita do 4.
• ✅ C) 92/45. Com x = 2,04444..., temos 10x = 20,4444... e 100x = 204,4444.... A subtração dá 90x = 184; logo, x = 184/90 = 92/45.
• ❌ D) 101/45. Surge de subtrair 204 - 2, quando é necessário subtrair 204 - 20 após alinhar as partes repetidas.
• ❌ E) 242/99. Ignora o zero da primeira casa decimal e corresponde a outro número, 2,4444....

Resolução: As multiplicações 10x e 100x alinham os períodos. Subtraindo, obtemos 90x = 184 e, depois de simplificar, x = 92/45.

3. Qual é o denominador da fração geratriz irredutível de 0,12222..., em que o algarismo 2 se repete a partir da segunda casa decimal?

• ❌ A) 100. Trata a dízima como decimal finito e usa uma potência de 10 como denominador.
• ❌ B) 11. É o numerador de 11/90, não o denominador solicitado.
• ✅ C) 90. Se x = 0,12222..., então 10x = 1,2222... e 100x = 12,2222.... A subtração dá 90x = 11, portanto x = 11/90.
• ❌ D) 99. Aplica o procedimento de dízima simples e desconsidera a primeira casa decimal não periódica.
• ❌ E) 9. Associa o algarismo repetido à fração 2/9 e ignora a parte não periódica.

Resolução: Como o período começa depois de uma casa não periódica, usamos 10x e 100x. A fração irredutível é 11/90, e seu denominador é 90.

4. A dízima 0,123123123... corresponde a que fração geratriz na forma irredutível?

• ❌ A) 41/330. O denominador não corresponde ao procedimento de uma dízima simples com período de três algarismos.
• ✅ B) 41/333. Se x = 0,123123..., então 1000x = 123,123123.... Subtraindo, 999x = 123; assim, x = 123/999 = 41/333.
• ❌ C) 123/1000. Representa o decimal exato 0,123 e ignora a repetição.
• ❌ D) 41/99. Usa quantidade inadequada de noves para o período de três algarismos.
• ❌ E) 41/111. É uma simplificação indevida: dividindo 123/999 por 3, obtemos 41/333.

Resolução: O período tem três algarismos; multiplicar por 1000 e subtrair elimina a repetição. Depois, simplificamos 123/999 por 3.

5. Converta 1,42525252... em fração geratriz na forma irredutível, sabendo que o bloco 25 se repete a partir da segunda casa decimal.

• ❌ A) 1424/999. Trata 425 como período completo, embora apenas 25 se repita depois do algarismo 4.
• ❌ B) 57/40. Corresponde ao decimal exato 1,425 e ignora as reticências.
• ✅ C) 1411/990. Com x = 1,42525252..., temos 10x = 14,252525... e 1000x = 1425,252525.... Subtraindo, 990x = 1411; logo, x = 1411/990, irredutível.
• ❌ D) 1411/999. Esse denominador seria adequado se a repetição começasse logo após a vírgula, sem o 4 não periódico.
• ❌ E) 124/99. Considera 1,252525... e esquece o algarismo 4 anterior ao período.

Resolução: A diferença entre 1000x e 10x cancela o período e produz 990x = 1411. A fração resultante já está na forma irredutível.

6. Depois de reduzir a fração geratriz de 0,636363..., qual é o numerador?

• ❌ A) 11. Na fração reduzida 7/11, 11 é o denominador.
• ❌ B) 6. Considera apenas o primeiro algarismo e desconsidera o período 63.
• ✅ C) 7. Como 100x = 63,636363... e x = 0,636363..., temos 99x = 63. Assim, x = 63/99 = 7/11, cujo numerador é 7.
• ❌ D) 3. Resulta de uma simplificação inválida, que não divide numerador e denominador pelo mesmo divisor.
• ❌ E) 9. Lembra a relação das dízimas com noves, mas não calcula nem reduz corretamente a fração.

Resolução: O período tem dois algarismos, então a fração inicial é 63/99. Reduzindo por 9, chegamos a 7/11; o numerador pedido é 7.

7. Escreva a fração geratriz, na forma irredutível, da dízima periódica 0,004444...

• ❌ A) 1/250. Considera apenas 0,004 = 4/1000 e ignora a repetição do 4.
• ❌ B) 1/2250. Acrescenta um zero indevido ao denominador, como se houvesse três casas não periódicas.
• ❌ C) 11/2250. Surge de uma subtração incorreta: 4,444... - 0,444... = 4, não 4,4.
• ❌ D) 2/45. Corresponde a deslocar a vírgula e tratar 0,04444..., em vez de 0,004444....
• ✅ E) 1/225. Se x = 0,004444..., então 1000x = 4,444... e 100x = 0,444.... Subtraindo, 900x = 4, logo x = 4/900 = 1/225.

Resolução: As duas expressões têm o mesmo trecho periódico após o deslocamento. A diferença é 4; portanto, x = 4/900, que simplifica para 1/225.

8. A dízima periódica 7,232323... é equivalente a qual fração irredutível?

• ❌ A) 653/90. Usa 90 para a parte periódica como se 0,232323... fosse 23/90; para período de dois algarismos, a fração é 23/99.
• ❌ B) 723/100. Representa o decimal exato 7,23 e desconsidera a repetição.
• ❌ C) 86/9. Supõe que toda dízima usa denominador 9, embora o período tenha dois algarismos.
• ✅ D) 716/99. Decompomos 7,232323... em 7 + 23/99. Então (693 + 23)/99 = 716/99, já irredutível.
• ❌ E) 723/99. Junta a parte inteira e o período diretamente, sem converter corretamente o 7 em uma fração de denominador 99.

Resolução: Para o período 23, usamos 23/99. Escrevendo 7 como 693/99, somamos 693/99 + 23/99 = 716/99.

Próximos passos

Depois da atividade, vale separar as respostas por tipo de dificuldade: leitura do período, escolha das potências de dez ou simplificação. Essa observação orienta uma retomada mais objetiva. Para ampliar a prática, consulte também as questões da habilidade EF08MA05. Você pode montar novas avaliações no gerador de provas do GeraProva e fazer seu cadastro grátis para organizar atividades para a turma.

Use as questões como ponto de partida e adapte a sequência ao que sua turma já estudou. O GeraProva ajuda a preparar provas e atividades; a escolha final e a revisão pedagógica continuam nas mãos do professor.