Atividades de análise de probabilidade de eventos aleatórios para o 9º ano com gabarito

Quando ensino probabilidade no 9º ano, percebo que a parte decisiva não é apenas fazer uma multiplicação: é entender se o resultado de uma etapa altera as chances da próxima. Uma moeda lançada duas vezes e uma urna em que as bolas não voltam para o saco são situações diferentes, embora ambas envolvam eventos sucessivos. Por isso, gosto de trabalhar a leitura cuidadosa do enunciado antes de escolher a operação.

Reuni aqui questões que contrastam eventos independentes e dependentes, com e sem reposição, além de situações com moedas, dados, bolas e escolhas de pessoas. Uso os comentários para mostrar o raciocínio por trás das alternativas, inclusive dos erros. Assim, posso identificar se a dificuldade está em reconhecer a interseção, atualizar o total após uma retirada ou calcular o evento complementar.

O que o aluno de 9º ano precisa saber sobre Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes

Ao trabalhar análise de probabilidade de eventos aleatórios no 9º ano, espero que o aluno diferencie eventos independentes de eventos dependentes e use essa distinção para calcular a chance de ocorrências simultâneas. Em lançamentos de uma moeda e de um dado, o resultado de um experimento não altera as possibilidades do outro; para calcular a interseção, multiplicamos as probabilidades. Já em retiradas sem reposição, a composição do conjunto muda depois da primeira escolha: o número de casos favoráveis e o total precisam ser atualizados. Também é importante interpretar expressões como “duas bolas azuis”, “pelo menos uma verde” e “cores diferentes”, pois cada uma define um evento específico. O aluno pode calcular pelo complemento quando for mais simples, como encontrar primeiro a chance de duas bolas terem a mesma cor. Por fim, precisa justificar a independência comparando a situação ou verificando se a probabilidade conjunta equivale ao produto das probabilidades individuais.

O que ele precisa saber antes

As questões mobilizam conhecimentos que vale a pena retomar antes ou durante a atividade. O primeiro é a probabilidade de um evento simples: contar casos favoráveis e compará-los ao total de resultados possíveis. Também entram a multiplicação de frações e a leitura de espaços amostrais simples, como os quatro resultados possíveis de dois lançamentos de moeda.

Em urnas e retiradas, a combinatória simples ajuda a contar pares sem reposição, especialmente quando a ordem não importa. Não é necessário começar por fórmulas complexas: podemos explicitar o total de pares e os pares favoráveis. Para eventos sucessivos, convém revisar a regra do produto e a probabilidade condicional em linguagem acessível: depois de observar a primeira retirada, recalculamos a chance da segunda com o que restou.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente nas questões é tratar retiradas sem reposição como se fossem independentes. Isso mantém a mesma fração na segunda etapa, embora uma bola ou uma pessoa já tenha sido retirada. Na questão das 35 pessoas entre 100, por exemplo, é preciso passar de 35/100 na primeira escolha para 34/99 na segunda. O distrator que usa uma chance constante ilustra bem essa confusão.

Outro tropeço é somar probabilidades quando o enunciado pede que dois eventos ocorram juntos. A soma não calcula a interseção; para eventos independentes, multiplicamos. Também aparece a confusão entre o evento pedido e seu complemento: “cores diferentes” não é “cores iguais”, embora calcular primeiro a chance de cores iguais possa ser uma estratégia válida se depois subtrairmos de 1. Na situação “pelo menos uma verde”, o complemento correto é não sair verde nenhuma vez, isto é, sair vermelha nas duas retiradas.

Em lançamentos independentes, alguns estudantes podem supor que a primeira moeda altera a segunda, ou podem multiplicar uma probabilidade a mais do que o número de lançamentos. Peço que representem cada etapa e nomeiem o evento solicitado antes de calcular. Esse hábito ajuda a distinguir impossibilidade de dependência: dois eventos podem acontecer juntos e ainda assim serem independentes.

Como trabalhar em sala

• Faça previsões antes do cálculo. Apresente uma moeda lançada duas vezes e uma urna sem reposição. Peça que a turma diga se a primeira etapa muda a segunda e justifique, antes de escrever qualquer fração.
• Simule com materiais simples. Use tampinhas, papéis coloridos ou fichas para representar bolas. Faça uma retirada com reposição e outra sem reposição, registrando como o total e as quantidades mudam.
• Compare estratégias. Para “cores diferentes”, conte diretamente os pares favoráveis ou calcule o complemento de “mesma cor”. A comparação mostra que estratégias diferentes podem levar ao mesmo resultado.
• Peça uma explicação do erro. Em vez de marcar apenas a resposta, peça que expliquem por que uma fração como 5/8 não pode ser repetida automaticamente após uma retirada sem reposição.
• Feche com uma justificativa curta. Oriente os alunos a registrar se os eventos são independentes e qual evidência sustenta a conclusão: experimento separado, reposição ou mudança na composição do conjunto.

Questões prontas de Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes para o 9º ano (com gabarito comentado)

1. Cartões de acessibilidade sem reposição

Em uma urna há oito cartões: cinco indicam pessoas que solicitaram recursos de acessibilidade e três indicam pessoas sem essa solicitação. Dois cartões são retirados, um após o outro, sem reposição. Qual é a probabilidade de os dois indicarem solicitações de acessibilidade?

• ❌ A) 10/16. Errada: soma probabilidades de etapas sucessivas. Para que os dois cartões sejam favoráveis, usamos o produto das probabilidades condicionadas.
• ✅ B) 5/14. Correta: a chance do primeiro cartão ser favorável é 5/8. Depois dele, restam quatro favoráveis entre sete cartões; então (5/8) × (4/7) = 5/14.
• ❌ C) 25/64. Errada: mantém 5/8 na segunda retirada, como se o primeiro cartão fosse devolvido. Sem reposição, as chances mudam.
• ❌ D) 4/7. Errada: considera apenas a chance da segunda retirada depois de um primeiro cartão favorável e deixa de incluir a probabilidade da primeira etapa.
• ❌ E) 5/8. Errada: usa somente a chance de sucesso na primeira retirada e ignora que o segundo cartão também precisa ser favorável.

O ponto principal é atualizar a composição da urna depois da primeira escolha. As retiradas são dependentes porque o primeiro resultado altera as chances seguintes.

2. Duas bolas de cores diferentes

Uma urna contém 20 bolas: 6 azuis, 3 vermelhas, 5 amarelas e 6 verdes. São retiradas duas bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as cores serem diferentes?

• ❌ A) 357/400. Errada: usa uma abordagem com denominador 20 × 20, que não representa corretamente os pares sem reposição.
• ✅ B) 147/190. Correta: há C(20,2) pares possíveis. A chance de duas bolas iguais é [C(6,2)+C(3,2)+C(5,2)+C(6,2)]/C(20,2)=43/190. Pelo complemento, cores diferentes têm probabilidade 1−43/190=147/190.
• ❌ C) 43/190. Errada: esse é o resultado para duas bolas da mesma cor, o complemento do evento pedido.
• ❌ D) 84/190. Errada: considera apenas um tipo de caso, começando por uma bola azul, e deixa de contar os pares de outras cores.
• ❌ E) 147/200. Errada: o numerador corresponde ao cálculo pretendido, mas o denominador 200 não é o total de pares sem reposição, que é C(20,2)=190.

Essa questão permite discutir por que o complemento pode simplificar a contagem e, ao mesmo tempo, conferir se o evento complementar foi identificado corretamente.

3. Pelo menos uma bola verde, com e sem reposição

Uma urna tem 9 bolas: 4 verdes e 5 vermelhas. São feitas duas retiradas com reposição e, em outro método, duas retiradas sem reposição. Em quantos pontos percentuais diferem as probabilidades de obter pelo menos uma bola verde?

• ✅ A) Aproximadamente 3,1 pontos percentuais. Correta: com reposição, o complemento é tirar duas vermelhas: 1−(5/9)²=56/81, aproximadamente 69,1%. Sem reposição: 1−(5/9)(4/8)=13/18, aproximadamente 72,2%. A diferença é cerca de 3,1 pontos percentuais.
• ❌ B) Cerca de 8,0 pontos percentuais. Errada: usa 4/9 no complemento com reposição, embora a probabilidade de vermelha seja 5/9.
• ❌ C) Cerca de 13,6 pontos percentuais. Errada: não calcula corretamente as probabilidades complementares dos dois métodos antes de compará-las.
• ❌ D) Aproximadamente −3,1 pontos percentuais. Errada: inverte a ordem da subtração. A diferença solicitada é apresentada como distância entre as probabilidades, positiva.
• ❌ E) Aproximadamente 5,6 pontos percentuais. Errada: parte de um valor incorreto para o método com reposição e, por isso, obtém uma diferença inadequada.

O complemento “nenhuma verde” organiza a conta. A comparação evidencia que, sem reposição, a chance de duas vermelhas diminui depois da primeira vermelha.

4. Duas caras em dois lançamentos

Ao lançar duas moedas justas, qual é a probabilidade de obter duas caras? Os lançamentos são independentes?

• ❌ A) 3/4. Errada: calcula a chance de pelo menos uma cara, usando o complemento de duas coroas, e não a chance de duas caras.
• ❌ B) 1/8. Errada: multiplica três probabilidades de 1/2, embora haja somente dois lançamentos.
• ❌ C) 1/3. Errada: considera três resultados equiprováveis. Os quatro resultados são cara-cara, cara-coroa, coroa-cara e coroa-coroa.
• ✅ D) 1/4. Correta: cada lançamento tem chance 1/2 de cara e os lançamentos são independentes. Assim, (1/2) × (1/2)=1/4.
• ❌ E) 1/2. Errada: considera a chance de cara em apenas uma moeda e ignora que as duas precisam resultar em cara.

Peço que os alunos descrevam o evento completo: não basta sair cara em algum lançamento; a condição é sair cara nos dois.

5. Independência nos lançamentos de uma moeda

Lance uma moeda justa duas vezes. Seja A o evento “ocorre cara no primeiro lançamento” e B o evento “ocorre cara no segundo lançamento”. A e B são independentes? Justifique com probabilidades.

• ❌ A) Não; P(A∩B)=1/2, enquanto P(A)·P(B)=1/4. Errada: a chance de obter cara nos dois lançamentos é 1/4, não 1/2.
• ❌ B) Sim; A e B ocorrem juntos com probabilidade 1/3. Errada: a probabilidade conjunta é 1/2 × 1/2=1/4.
• ❌ C) Sim; são dependentes, pois não podem ocorrer simultaneamente. Errada: podem ocorrer juntos quando os dois resultados são cara; além disso, essa justificativa não demonstra dependência.
• ❌ D) Não; o primeiro lançamento afeta o segundo. Errada: em lançamentos de uma moeda, o resultado anterior não altera a probabilidade de cara no lançamento seguinte.
• ✅ E) Sim; são independentes, pois P(A∩B)=1/4=P(A)·P(B). Correta: cada probabilidade individual é 1/2, e o produto coincide com a chance conjunta.

A comparação entre a probabilidade da interseção e o produto das probabilidades oferece uma justificativa matemática direta para a independência.

6. Escolha de dois alunos sem reposição

Em um grupo de 100 alunos, 35 pertencem à classe [60–80). Escolhendo dois alunos sem reposição, qual é a probabilidade de ambos pertencerem a essa classe?

• ❌ A) 0,25. Errada: não usa os dados do enunciado; corresponde a tratar metade do grupo como favorável e calcular (50/100)².
• ❌ B) 0,30. Errada: usa 30 como número de alunos da classe e considera apenas uma escolha, em vez de calcular duas seleções.
• ❌ C) 0,15. Errada: usa quantidades que não correspondem ao enunciado para as duas etapas.
• ❌ D) 0,10. Errada: considera somente uma chance de 10/100, que não representa os 35 alunos da classe nem as duas escolhas.
• ✅ E) 0,1202. Correta: na primeira escolha, a chance é 35/100. Sem reposição, ficam 34 alunos da classe entre 99 pessoas. Logo, (35/100)(34/99)=119/990≈0,1202.

É útil perguntar à turma o que muda após a primeira escolha: saem do grupo uma pessoa da classe e uma pessoa do total disponível.

7. Uma moeda e um dado

Lance simultaneamente uma moeda justa e um dado justo de seis faces. Seja A o evento “sair cara” e B o evento “sair número múltiplo de 3”. Calcule P(A∩B).

• ❌ A) 1/4. Errada: parte de uma contagem incorreta das possibilidades favoráveis e não calcula adequadamente a ocorrência conjunta.
• ❌ B) 2/6. Errada: considera somente os resultados do dado e deixa de incluir a probabilidade de sair cara.
• ❌ C) 0. Errada: trata os eventos como incompatíveis, embora cara possa ocorrer simultaneamente com 3 ou 6 no dado.
• ❌ D) P(A)+P(B)=1/2+2/6=4/6. Errada: a soma não calcula a ocorrência simultânea; além disso, a soma indicada resulta em 5/6, não 4/6.
• ✅ E) 1/6. Correta: moeda e dado são independentes. P(A∩B)=(1/2)(2/6)=1/6.

Além de reconhecer a independência, é importante verificar a aritmética da alternativa: 1/2+2/6 corresponde a 5/6, mas ainda assim não responde ao que foi pedido.

8. Duas bolas azuis sem reposição

Em um saco há 3 bolas azuis e 5 vermelhas. Retiram-se duas bolas sem reposição. Calcule a probabilidade de as duas serem azuis e explique por que os eventos não são independentes.

• ✅ A) (3/8) × (2/7)=3/28; os eventos são dependentes porque a primeira retirada altera a composição do saco. Correta: após sair uma azul, restam 2 azuis entre 7 bolas.
• ❌ B) (5/8) × (4/7); as bolas são independentes. Errada: as frações se referem a quantidades vermelhas, não azuis, e a composição muda sem reposição.
• ❌ C) 1/2; a primeira retirada não altera a segunda. Errada: não corresponde ao cálculo das duas retiradas azuis, e a ausência de reposição altera as chances.
• ❌ D) 3/8 para retirar duas bolas iguais; eventos independentes. Errada: 3/8 é a chance de azul na primeira retirada, não a de obter duas bolas iguais; além disso, as retiradas são dependentes.
• ❌ E) (3/8) × (1/6); eventos independentes. Errada: 1/6 não representa a chance condicional de azul na segunda retirada; depois da primeira azul, a fração correta é 2/7.

A mudança de três azuis entre oito bolas para duas azuis entre sete é a evidência concreta de dependência.

Próximos passos

Depois de corrigir as questões, peça aos alunos que classifiquem cada situação como dependente ou independente e destaquem no enunciado as informações que sustentam a decisão. Para ampliar a prática, consulte também as questões da habilidade EF09MA20. Se quiser montar uma avaliação com questões adequadas ao conteúdo trabalhado, experimente o gerador de provas do GeraProva e faça seu cadastro grátis.

Use estas atividades como ponto de partida: adapte os exemplos ao percurso da sua turma e confira o gabarito junto com os alunos. No GeraProva, você pode criar e organizar outras provas de Matemática para apoiar seu planejamento.