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UNESP 2012 Matemática6 questões

6 Questões de Matemática do UNESP 2012

Veja 2 questões-amostra do UNESP 2012 com gabarito comentado e análise pedagógica completa. Monte um simulado com as 6 questões em segundos.

Sobre estas questões de Matemática do UNESP 2012

Esta página reúne 6 questões de Matemática do UNESP 2012 (prova oficial), com classificação pedagógica e alinhamento à BNCC quando aplicável. Abaixo você encontra 6 questões-amostra com a análise pedagógica completa (gabarito comentado, ficha pedagógica e resolução passo a passo) — uma prévia do que o GeraProva monta automaticamente para a prova inteira.

O que estas questões cobram: modelo exponencial crescimento populacional; distância ponto a reta; raízes, progressão aritmética, equação cúbica; conservação de massa e porcentagem.

Objetivos pedagógicos principais: avaliacao.

6
Questões no banco
0F · 6M · 0D
Distribuição (amostra)
4
Contextualizadas
3
Interdisciplinares
6
Exigem cálculo
🧠 Habilidades cognitivas (Bloom): Analisar, Aplicar
🎯 Tipos de raciocínio exigidos: Crítico, Dedutivo

Como usar: professores podem aplicar estas questões do UNESP 2012 diretamente em simulados e avaliações, ou gerar uma prova personalizada com o GeraProva misturando anos, matérias e dificuldade. Alunos podem usar para treino de vestibular, praticando antes de ver o gabarito comentado.

Simulado do UNESP 2012 em segundos

Gere um simulado personalizado com gabarito e folha de respostas usando as 6 questões deste recorte. Veja os planos:

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Questão 1 UNESP 2012BNCC EM13MAT304Média🧠 Analisar⏱ medio

Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por: P(t) = [280 - 90 · e-0,019 · (t-1970)]. Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para o logaritmo natural ln (14/95) ? -1,9 a população brasileira será 90% da suposta população de estabilização aproximadamente no ano de: UNESP - 2012

  1. A) 2065.
  2. B) 2070.
  3. C) 2075.
  4. D) 2080.
  5. E) 2085.
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central

modelo exponencial crescimento populacional

💡 Dica de resolução

Use o modelo dado para substituir P(t) por 90% de 280 e resolva para t usando logaritmo natural.

✅ Resposta correta: B

Correta porque, ao igualar P(t) a 252 e isolar t, a resolução resulta em t ˜ 2070. Utiliza-se o valor aproximado do logaritmo dado no enunciado, chegando exatamente a esse ano.

Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ A) Errada porque, ao substituir t = 2065 na expressão da população, o valor obtido para P(t) não atinge 90% de 280 milhões (ou seja, 252 milhões). A conta mostra que esse percentual é atingido em torno de 2070, portanto 2065 é precoce.
❌ C) Errada porque, com t = 2075, a população P(t) já ultrapassou os 90% de 280 milhões (252 milhões), mostrando que o valor de t é maior do que o necessário.
❌ D) Errada porque, para t = 2080, o valor encontrado para P(t) é ainda maior do que 90% da estabilização, portanto, esse ano é depois do necessário.
❌ E) Errada porque, ao testar t = 2085, a população ultrapassa bastante os 90% de 280 milhões, sendo um valor muito além do pedido no problema.
📚 Reveja antes de resolver

estudo de funções exponenciais e logaritmos naturais

📋 Ficha pedagógica
Objetivo: avaliacao
Raciocínio: Crítico
Taxonomia Bloom: Analisar
Dificuldade: Média
Tempo estimado: medio
Nível de leitura: medio
Estilo do enunciado: calculativa
Contexto de aplicação: cotidiano
Papel na prova: consolidacao
Peso pedagógico: medio
Poder de discriminação: medio
Autonomia do enunciado: completo
Cobertura da habilidade: unica
Indicações: Simulado · Diagnóstico · Exige cálculo · Cotidiano · Interdisciplinar
Questão 2 UNESP 2012BNCC EM13MAT308Média🧠 Analisar⏱ medio

A figura mostra um paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, com base quadrada ABCD de aresta a e altura 2a, em centímetros. [IMAGEM] A distância, em centímetros, do vértice A à diagonal BH vale: UNESP - 2012

  1. A) v5/6 · a.
  2. B) v6/6 · a.
  3. C) v5/5 · a.
  4. D) v6/5 · a.
  5. E) v30/6 · a.
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central

distância ponto a reta

💡 Dica de resolução

Use propriedades do paralelepípedo e geometria espacial para calcular a distância.

✅ Resposta correta: E

Correta porque v30/6 · a corresponde à distância de um ponto (A) à reta (diagonal BH) correta em um paralelepípedo com base de aresta a e altura 2a. O cálculo considera o produto vetorial entre os vetores AB (representando o ponto A) e o vetor da diagonal BH, com módulo v30a², dividido pelo módulo da diagonal (6), resultando no valor dado.

Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ A) Errada porque o valor v5/6 · a resulta de uma aplicação incorreta da fórmula de distância entre ponto e reta no espaço. Nessa alternativa, o cálculo ignora corretamente o vetor diretor da diagonal BH e/ou erra no produto vetorial, levando a um denominador errado (deveria ser 6, mas coincide só no denominador, não no numerador).
❌ B) Errada porque utiliza o valor v6/6 · a, que implica um equívoco na determinação do módulo do produto vetorial entre os vetores envolvidos, provavelmente confundindo a construção da diagonal BH (componentes vetoriais) ou do vetor ABH, resultando em valor maior do que o correto.
❌ C) Errada porque v5/5 · a sugere um erro tanto no numerador quanto no denominador do cálculo. Ao usar 5 em vez de 6 no denominador, não considera adequadamente a soma dos quadrados das componentes do vetor diretor da diagonal, alterando o resultado final.
❌ D) Errada porque v6/5 · a inverte valores corretos e mistura numerador e denominador dos cálculos padrões da distância entre ponto e reta no espaço, resultando em uma aproximação, porém incorreta, do valor verdadeiro.
📚 Reveja antes de resolver

Estude distância entre ponto e reta no espaço tridimensional.

📋 Ficha pedagógica
Objetivo: avaliacao
Raciocínio: Crítico
Taxonomia Bloom: Analisar
Dificuldade: Média
Tempo estimado: medio
Nível de leitura: medio
Estilo do enunciado: calculativa
Contexto de aplicação: abstrato
Papel na prova: consolidacao
Peso pedagógico: medio
Poder de discriminação: alto
Autonomia do enunciado: depende_imagem
Cobertura da habilidade: unica
Indicações: Simulado · Diagnóstico · Exige cálculo
Questão 3 UNESP 2012BNCC EM13MAT507Média🧠 Analisar⏱ medio

Dado que as raízes da equação x³ - 3x² - x + k = 0, onde k é uma constante real, formam uma progressão aritmética, o valor de k é: UNESP - 2012

  1. A) - 5.
  2. B) - 3.
  3. C) 0.
  4. D) 3.
  5. E) 5.
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central

raízes, progressão aritmética, equação cúbica

💡 Dica de resolução

Use as propriedades das raízes e a condição de progressão aritmética para formar equações e encontrar k.

✅ Resposta correta: D

Com k = 3, seja as raízes em P.A.: (r - d), r, (r + d). Pela soma das raízes: (r - d) + r + (r + d) = 3r = 3 ? r = 1. Produto das três: (1-d) * 1 * (1+d) = 1 - d² = -k, ou seja, k = d² - 1. A soma dos produtos dois a dois: (1-d)(1) + (1-d)(1+d) + 1(1+d) = (1-d) + (1-d²) + (1+d) = 3 - d². Mas pela relação de Girard, essa soma deve ser igual a -1, então 3 - d² = -1 ? d² = 4 ? d = 2 ou d = -2. Logo, k = d² - 1 = 4 - 1 = 3. Portanto, o único valor possível de k é 3.

Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ A) Se k = -5, ao substituir na equação, o termo independente não é compatível com a soma e o produto das raízes que deveriam estar em progressão aritmética. A soma das raízes não seria 3, contrária ao que se deduz pela relação de Girard para essa equação, impossibilitando a configuração exigida.
❌ B) Com k = -3, ao tentar encontrar raízes em progressão aritmética e comparar os coeficientes pelos produtos das raízes, percebe-se que a soma e o produto não fecham o sistema, impossibilitando a existência de três raízes reais em P.A., tornando a alternativa inválida.
❌ C) Se k = 0, utilizando as relações de Girard e tentando montar raízes em progressão aritmética, nota-se que a soma dos produtos das raízes, que deve ser -1, não fecha, e não há valores reais que atendam todas as condições impostas pela equação.
❌ E) Ao colocar k = 5 e tentar compatibilizar as relações de soma, produto e soma dos produtos das raízes para progressão aritmética, a conta para k não fecha, ou seja, não existe valor real de d que satisfaça todas as relações exigidas pela equação.
📚 Reveja antes de resolver

Estude progressão aritmética e relações entre coeficientes e raízes de equações polinomiais.

📋 Ficha pedagógica
Objetivo: avaliacao
Raciocínio: Crítico
Taxonomia Bloom: Analisar
Dificuldade: Média
Tempo estimado: medio
Nível de leitura: medio
Estilo do enunciado: calculativa
Contexto de aplicação: abstrato
Papel na prova: consolidacao
Peso pedagógico: medio
Poder de discriminação: alto
Autonomia do enunciado: completo
Cobertura da habilidade: unica
Indicações: Simulado · Diagnóstico · Exige cálculo
Questão 4 UNESP 2012Média🧠 Aplicar⏱ medio

Um quilograma de tomates é constituído por 80% de água. Essa massa de tomate (polpa + H2O) é submetida a um processo de desidratação, no qual apenas a água é retirada, até que a participação da água na massa de tomate se reduza a 20%. Após o processo de desidratação, a massa de tomate, em gramas, será de: UNESP - 2012

  1. A) 200.
  2. B) 225.
  3. C) 250.
  4. D) 275.
  5. E) 300.
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central

conservação de massa e porcentagem

💡 Dica de resolução

Calcule a massa de água e a massa seca antes e depois da desidratação.

✅ Resposta correta: C

Certa porque considera que, após a desidratação, a água corresponde a 20% da massa final. Como a polpa permanece 200 g, temos 80% da massa final = 200 g; logo, massa final = 200 g / 0,8 = 250 g.

Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ A) Errada porque considera diretamente os 20% finais como 200 g sem considerar a quantidade remanescente de polpa. Inicialmente, há 200 g de polpa e 800 g de água. Após desidratar até que a água seja apenas 20% do total, a massa total (polpa + restante da água) não será 200 g, pois a polpa permanece constante em 200 g.
❌ B) Errada porque faz um cálculo incorreto da proporção de água no produto final. Mantendo os 200 g de polpa fixa, se a água for 20% da massa final, ela deve ser 1/4 do total. Assim, 225 g representa uma subtração errada, pois a massa correta é obtida pela equação: massa final = polpa / 0,8 = 200/0,8 = 250 g.
❌ D) Errada porque calcula um valor acima do correto, provavelmente subestimando a proporção de retirada de água ou cometendo erro de regra de três. Isso ignora o fato de que a massa de polpa não muda e que a fórmula correta é dividir a massa da polpa por 0,8.
❌ E) Errada pois mantém mais água do que o permitido (20%). Se fossem 300 g, a polpa (200 g) seria cerca de 67% da massa total, o que não atende à exigência do enunciado de 20% de água. O cálculo não busca o equilíbrio correto da porcentagem ao final.
📚 Reveja antes de resolver

revisar cálculo de porcentagem e conservação de massa em misturas

📋 Ficha pedagógica
Objetivo: avaliacao
Raciocínio: Dedutivo
Taxonomia Bloom: Aplicar
Dificuldade: Média
Tempo estimado: medio
Nível de leitura: medio
Estilo do enunciado: calculativa
Contexto de aplicação: cotidiano
Papel na prova: progressao
Peso pedagógico: medio
Poder de discriminação: medio
Autonomia do enunciado: completo
Cobertura da habilidade: unica
Indicações: Simulado · Diagnóstico · Exige cálculo · Cotidiano · Interdisciplinar
Questão 5 UNESP 2012BNCC EM13MAT310Média🧠 Analisar⏱ medio

Em um programa de plateia da TV brasileira, cinco participantes foram escolhidos pelo apresentador para tentarem acertar o número de bolas de gude contidas em uma urna de vidro transparente. Aquele que acertasse ou mais se aproximasse do número real de bolas de gude contidas na urna ganharia um prêmio. Os participantes A, B, C, D e E disseram haver, respectivamente, 1 195, 1 184, 1 177, 1 250 e 1 232 bolas na urna. Sabe-se que nenhum dos participantes acertou o número real de bolas, mas que um deles se enganou em 30 bolas, outro em 25, outro em 7, outro em 48 e, finalmente, outro em 18 bolas. Podemos concluir que quem ganhou o prêmio foi o participante: UNESP - 2012

  1. A) A.
  2. B) B.
  3. C) C.
  4. D) D.
  5. E) E.
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central

diferença absoluta, aproximação, análise

💡 Dica de resolução

Calcule as diferenças entre os palpites e os erros para identificar o vencedor.

✅ Resposta correta: A

Correta. Para descobrir o vencedor, é preciso cruzar cada palpite com os erros possíveis. Listando os palpites em ordem crescente: 1177 (C), 1184 (B), 1195 (A), 1232 (E), 1250 (D). O número real de bolas deve estar entre dois palpites, pois ninguém acertou. Testando para cada palpite o erro: se o número real fosse maior que 1195, o erro de A seria (real - 1195); se menor, seria (1195 - real). Repare que a diferença entre palpites consecutivos permite conferir os erros. Apenas com as distâncias dadas (7, 18, 25, 30, 48), a única solução possível é: real = 1177 + 25 = 1202 (C errou por 25), então os erros são: A: 7, B: 18, C: 25, D: 48, E: 30. O menor erro é 7 (A). Logo, A foi quem mais se aproximou e ganhou.

Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ B) Errada. O palpite de B foi 1184. Fazendo contas, a diferença entre 1202 (real) e 1184 é 18, que está na lista de erros. Porém, essa não é a menor diferença: A ficou apenas 7 bolas distante do real, ou seja, B não foi quem mais se aproximou.
❌ C) Errada. C chutou 1177, logo, do real (1202), ficou a 25 bolas de diferença. Mas A ficou a apenas 7 bolas – um erro menor. Portanto, C não ganhou.
❌ D) Errada. D apostou 1250, diferença de 48 para o real (1202), que é o maior erro dentre todos. Não é o vencedor, pois outros ficaram mais próximos.
❌ E) Errada. E falou 1232, diferença de 30 para o valor real (1202), maior do que o erro de A (7) e de outros participantes. Portanto, E também não ganhou.
📚 Reveja antes de resolver

estude cálculo de valor absoluto e comparação de diferenças

📋 Ficha pedagógica
Objetivo: avaliacao
Raciocínio: Dedutivo
Taxonomia Bloom: Analisar
Dificuldade: Média
Tempo estimado: medio
Nível de leitura: medio
Estilo do enunciado: situacional
Contexto de aplicação: cotidiano
Papel na prova: consolidacao
Peso pedagógico: medio
Poder de discriminação: alto
Autonomia do enunciado: completo
Cobertura da habilidade: multipla
Indicações: Simulado · Diagnóstico · Exige cálculo · Cotidiano
Questão 6 UNESP 2012BNCC EM13MAT312Média🧠 Analisar⏱ medio

O mercado automobilístico brasileiro possui várias marcas de automóveis disponíveis aos consumidores. Para cinco dessas marcas (A, B, C, D e E), a matriz fornece a probabilidade de um proprietário de um carro de marca da linha i trocar para o carro de marca da coluna j, quando da compra de um carro novo. Os termos da diagonal principal dessa matriz fornecem as probabilidades de um proprietário permanecer com a mesma marca de carro na compra de um novo. [IMAGEM] A probabilidade de um proprietário de um carro da marca B comprar um novo carro da marca C, após duas compras, é: UNESP - 2012

  1. A) 0,25.
  2. B) 0,24.
  3. C) 0,20.
  4. D) 0,09.
  5. E) 0,00.
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central

probabilidade matriz transição

💡 Dica de resolução

Calcule a probabilidade após duas compras usando multiplicação de matrizes.

✅ Resposta correta: D

Está correta porque ao calcular a probabilidade de sair de B e chegar a C em duas compras, somam-se as probabilidades de: (1) ir de B para B e então de B para C (0,5 * 0,2 = 0,10), (2) ir de B para C e de C para C (0,3 * 0,3 = 0,09), e (3) por outros caminhos possíveis, mas só o caminho via B->C->C resulta em 0,09, que é a contribuição correta e única. Após somar todos os caminhos válidos e seus produtos, chega-se a 0,09 de chance.

Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ A) 0,25 está errada porque corresponde à soma direta das probabilidades de algumas trocas e não ao caminho correto para calcular a probabilidade de um proprietário de B trocar para C em duas compras. O procedimento correto é multiplicar a matriz por ela mesma para obter as probabilidades em duas etapas, e não apenas somar valores isolados.
❌ B) 0,24 está errada porque resulta, provavelmente, de um erro ao escolher as probabilidades envolvidas ou na soma dos caminhos possíveis da matriz de transição. A probabilidade correta exige considerar todos os caminhos de B para C em duas etapas, multiplicando as probabilidades das duas trocas possíveis, não somente partes da matriz.
❌ C) 0,20 está errada pois não considera corretamente o cálculo da probabilidade total do proprietário de B trocar para C em dois movimentos. O erro está em ignorar um dos caminhos possíveis (permanecer em B na primeira compra e trocar para C na segunda), ou somar valores incompatíveis com o modelo de cadeia de Markov.
❌ E) 0,00 está errada porque há caminhos possíveis para um proprietário de B acabar comprando C em duas trocas; portanto, a probabilidade não é nula. O erro aqui é desconsiderar que o processo de troca de marcas pode levar, sim, de B para C após duas compras.
📚 Reveja antes de resolver

Estude matrizes de transição e cálculo de probabilidades compostas.

📋 Ficha pedagógica
Objetivo: avaliacao
Raciocínio: Crítico
Taxonomia Bloom: Analisar
Dificuldade: Média
Tempo estimado: medio
Nível de leitura: medio
Estilo do enunciado: calculativa
Contexto de aplicação: cotidiano
Papel na prova: progressao
Peso pedagógico: medio
Poder de discriminação: medio
Autonomia do enunciado: depende_imagem
Cobertura da habilidade: unica
Indicações: Simulado · Diagnóstico · Exige cálculo · Cotidiano · Interdisciplinar
Habilidades BNCC trabalhadas nesta página
As questões desta página desenvolvem as seguintes habilidades da Base Nacional Comum Curricular:
EM13MAT304Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
EM13MAT308Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
EM13MAT310Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
EM13MAT312Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
EM13MAT507Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.

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Sobre estas questões

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Perguntas frequentes

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