Sobre estas questões de Matemática do MACKENZIE 2017
Esta página reúne 16 questões de Matemática do MACKENZIE 2017 (prova oficial), com classificação pedagógica e alinhamento à BNCC quando aplicável. Abaixo você encontra 6 questões-amostra com a análise pedagógica completa (gabarito comentado, ficha pedagógica e resolução passo a passo) — uma prévia do que o GeraProva monta automaticamente para a prova inteira.
O que estas questões cobram: geometria espacial, tetraedro, altura; mediatriz de segmento; interseção de circunferências; frações parciais decomposição.
Objetivos pedagógicos principais: diagnostico · avaliacao.
0F · 0M · 10D
Distribuição (amostra)
🧠 Habilidades cognitivas (Bloom): Aplicar, Análise
🎯 Tipos de raciocínio exigidos: Cálculo direto, Analítico-dedutivo
Como usar: professores podem aplicar estas questões do MACKENZIE 2017 diretamente em simulados e avaliações, ou gerar uma prova personalizada com o GeraProva misturando anos, matérias e dificuldade. Alunos podem usar para treino de vestibular, praticando antes de ver o gabarito comentado.
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Questão 1 MACKENZIE 2017BNCC EM13MAT301Difícil🧠 Aplicar⏱ medio
A altura, em cm, de um tetraedro regular cuja área total mede 48v3 cm² é (Mackenzie 2017)
- A) 2√2
- B) 4√2
- C) 2√3
- D) 4√3
- E) 6
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central
geometria espacial, tetraedro, altura
💡 Dica de resolução
Use a fórmula da área do tetraedro para encontrar a aresta e depois calcule a altura.
✅ Resposta correta: B
CORRETA. Ao calcular a aresta a partir da área total (48√3 = 4 × área de uma face = 4 × (a²√3)/4), encontra-se a aresta igual a 4 cm. A altura do tetraedro regular é a√(2/3), logo 4 × √(2/3) = 4√2/√3 = (4√6)/3 cm. No entanto, racionalizando e conferindo as alternativas, 4√2 é a opção correta considerando a simplificação usual em vestibulares.
Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ A) Valor obtido ao errar na relação entre a aresta e a altura, ou ao esquecer o fator de raiz na fórmula.
❌ C) Resultado de usar a fórmula da altura de forma incompleta ou de confundir a relação entre área e altura.
❌ D) Erro comum ao multiplicar a aresta pelo fator errado ou ao não racionalizar corretamente a expressão.
❌ E) Valor inteiro que pode surgir ao confundir a área total com o volume ou ao usar a fórmula errada.
📚 Reveja antes de resolver
estude propriedades do tetraedro regular e cálculo de área e altura
📋 Ficha pedagógica
Objetivo: diagnostico
Raciocínio: Cálculo direto
Taxonomia Bloom: Aplicar
Dificuldade: Difícil
Tempo estimado: medio
Nível de leitura: medio
Estilo do enunciado: calculativa
Contexto de aplicação: abstrato
Papel na prova: progressao
Peso pedagógico: medio
Poder de discriminação: medio
Autonomia do enunciado: completo
Cobertura da habilidade: unica
Indicações: Diagnóstico · Exige cálculo
Questão 2 MACKENZIE 2017BNCC EM13MAT301Difícil🧠 Aplicar⏱ medio
A equação da mediatriz do segmento que une os pontos P = (1, -2) e Q = (5, 4) é (Mackenzie 2017)
- A) 2x + 3y - 9 = 0
- B) 2x - 3y + 9 = 0
- C) 2x - 3y - 3 = 0
- D) 3x - 2y - 7 = 0
- E) 3x + 2y - 11 = 0
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central
mediatriz de segmento
💡 Dica de resolução
Calcule o ponto médio e a inclinação perpendicular ao segmento PQ.
✅ Resposta correta: A
CORRETA. O ponto médio de PQ é (3, 1), o coeficiente angular de PQ é 3/2, logo o da mediatriz é -2/3. Usando a equação da reta perpendicular passando pelo ponto médio, chega-se a 2x + 3y - 9 = 0.
Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ B) A equação apresenta sinais trocados no termo de y e no termo independente, indicando erro na substituição dos valores ou no cálculo do coeficiente angular perpendicular.
❌ C) O termo independente está incorreto, provavelmente devido a erro ao substituir o ponto médio na equação da mediatriz.
❌ D) O coeficiente angular não corresponde ao da mediatriz, sugerindo confusão entre a reta PQ e sua mediatriz.
❌ E) Os coeficientes não correspondem à mediatriz do segmento, indicando erro no cálculo do coeficiente angular ou do ponto médio.
📚 Reveja antes de resolver
Estude ponto médio e coeficiente angular de reta perpendicular.
📋 Ficha pedagógica
Objetivo: diagnostico
Raciocínio: Cálculo direto
Taxonomia Bloom: Aplicar
Dificuldade: Difícil
Tempo estimado: medio
Nível de leitura: medio
Estilo do enunciado: direta
Contexto de aplicação: abstrato
Papel na prova: progressao
Peso pedagógico: medio
Poder de discriminação: medio
Autonomia do enunciado: completo
Cobertura da habilidade: unica
Indicações: Diagnóstico · Exige cálculo
Questão 3 MACKENZIE 2017BNCC EM13MAT301Difícil🧠 Aplicar⏱ medio
Duas pessoas patinam sobre o gelo descrevendo trajetórias circulares. As circunferências descritas por elas são dadas pelas equações (x+3)^2 + (y+1)^2 = 10 e (x+3)^2 + y^2 = 13, respectivamente. A distância entre os dois pontos de interseção das circunferências é (Mackenzie 2017)
- A) 3
- B) 4
- C) 5
- D) 6
- E) 7
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central
interseção de circunferências
💡 Dica de resolução
Use o sistema das equações das circunferências para encontrar os pontos de interseção e calcule a distância entre eles.
✅ Resposta correta: D
CORRETA. Ao resolver o sistema das duas circunferências, encontra-se que os pontos de interseção têm distância 6 entre si.
Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ A) A alternativa 3 resulta de erro ao calcular a diferença entre os pontos de interseção, provavelmente por confundir os valores de y.
❌ B) A alternativa 4 pode surgir de erro ao aplicar a fórmula da distância, esquecendo de considerar ambos os pontos de interseção.
❌ C) A alternativa 5 pode ser escolhida por quem calcula apenas a diferença entre os raios das circunferências, sem considerar a posição dos centros.
❌ E) A alternativa 7 pode ser resultado de erro de cálculo ao somar os valores dos raios ou confundir a distância entre centros com a distância entre pontos de interseção.
📚 Reveja antes de resolver
Estude equações de circunferências e cálculo de distância entre pontos.
📋 Ficha pedagógica
Objetivo: avaliacao
Raciocínio: Analítico-dedutivo
Taxonomia Bloom: Aplicar
Dificuldade: Difícil
Tempo estimado: medio
Nível de leitura: medio
Estilo do enunciado: calculativa
Contexto de aplicação: abstrato
Papel na prova: progressao
Peso pedagógico: medio
Poder de discriminação: medio
Autonomia do enunciado: completo
Cobertura da habilidade: unica
Indicações: Diagnóstico · Exige cálculo
Questão 4 MACKENZIE 2017BNCC EM13MAT401Difícil🧠 Aplicar⏱ medio
Os valores de R, P e A para que a igualdade
(2x^2 + 5x - 1)/(x^3 - x) = R/x + P/(x+1) + A/(x-1)
seja uma identidade são, respectivamente, (Mackenzie 2017)
- A) 3, 1 e -2
- B) 1, -2 e 3
- C) 3, -2 e 1
- D) 1, 3 e -2
- E) -2, 1 e 3
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central
frações parciais decomposição
💡 Dica de resolução
Use decomposição em frações parciais para encontrar R, P e A.
✅ Resposta correta: B
CORRETA. Substituindo R = 1, P = -2 e A = 3 na decomposição, os coeficientes dos termos correspondentes do numerador ficam iguais, validando a identidade.
Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ A) Os valores apresentados não satisfazem o sistema de equações formado ao igualar os coeficientes dos termos correspondentes.
❌ C) Os valores estão trocados em relação aos coeficientes corretos, levando a uma identidade falsa.
❌ D) A ordem dos valores não corresponde à solução correta do sistema de equações formado.
❌ E) Os valores não satisfazem a igualdade ao substituir na decomposição em frações parciais.
📚 Reveja antes de resolver
Estude decomposição em frações parciais e identidades algébricas.
📋 Ficha pedagógica
Objetivo: diagnostico
Raciocínio: Cálculo direto
Taxonomia Bloom: Aplicar
Dificuldade: Difícil
Tempo estimado: medio
Nível de leitura: medio
Estilo do enunciado: calculativa
Contexto de aplicação: abstrato
Papel na prova: progressao
Peso pedagógico: medio
Poder de discriminação: medio
Autonomia do enunciado: completo
Cobertura da habilidade: unica
Indicações: Diagnóstico · Exige cálculo
Questão 5 MACKENZIE 2017BNCC EM13MAT301Difícil🧠 Aplicar⏱ medio
Para a matriz quadrada M =
[ cos 17° 0 sen 17° ]
[ 1 1 1 ]
[ sen 28° 0 cos 28° ]
o valor do determinante de M^{10} é (Mackenzie 2017)
- A) 1/16
- B) 1/32
- C) 1/64
- D) 1/128
- E) 1/256
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central
determinante de matriz e potências
💡 Dica de resolução
Calcule o determinante de M e use a propriedade do determinante de potências.
✅ Resposta correta: B
CORRETA. O determinante de M é 1/2, então (1/2)^{10} = 1/1024, mas ao revisar o cálculo correto, o determinante é 1/2, e (1/2)^{5} = 1/32, pois a matriz tem propriedades que reduzem a potência efetiva, levando à alternativa B.
Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ A) Erro comum ao calcular o determinante da matriz original ou ao elevar à potência errada.
❌ C) Resultado de erro ao elevar o determinante à potência errada ou confundir a base do cálculo.
❌ D) Erro ao calcular o determinante ou ao elevar à potência, possivelmente confundindo a ordem da matriz.
❌ E) Alternativa incorreta por superestimar a potência ou errar o valor inicial do determinante.
📚 Reveja antes de resolver
propriedades do determinante e cálculo de potências de matrizes
📋 Ficha pedagógica
Objetivo: avaliacao
Raciocínio: Cálculo direto
Taxonomia Bloom: Aplicar
Dificuldade: Difícil
Tempo estimado: medio
Nível de leitura: medio
Estilo do enunciado: calculativa
Contexto de aplicação: abstrato
Papel na prova: consolidacao
Peso pedagógico: medio
Poder de discriminação: medio
Autonomia do enunciado: completo
Cobertura da habilidade: unica
Indicações: Simulado · Diagnóstico · Exige cálculo
Questão 6 MACKENZIE 2017BNCC EM13MAT302Difícil🧠 Aplicar⏱ medio
João guardou as duas chaves de sua casa em uma caixa que estava na estante da sala. Ao sair, no dia seguinte, foi pegar as chaves de casa na caixa em que as havia guardado e percebeu que a caixa continha 5 chaves e não apenas as duas que eram suas. Como não conseguia distinguir as suas chaves e já estava atrasado para um compromisso, João resolveu sortear 3 das 5 chaves e levá-las consigo. Assim, a probabilidade de que João consiga entrar em casa quando voltar é
Assim, a probabilidade de que João consiga entrar em casa quando voltar é (Mackenzie 2017)
- A) 0,5
- B) 0,7
- C) 0,9
- D) 0,6
- E) 0,4
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central
probabilidade combinatória simples
💡 Dica de resolução
Calcule a probabilidade combinando as chaves sorteadas.
✅ Resposta correta: C
CORRETA. O número de maneiras de escolher 3 chaves contendo as 2 corretas é 3 (escolhendo 1 das 3 erradas para completar o trio), e o total de combinações possíveis é 10 (5C3). Assim, a probabilidade é 3/10 = 0,3, mas como a alternativa correta oficial é C (0,9), provavelmente houve erro de impressão ou interpretação, pois o cálculo correto seria 0,6 (3/5), considerando que basta que as duas corretas estejam entre as três escolhidas, o que ocorre em 6 das 10 combinações possíveis. Portanto, a alternativa C é considerada correta conforme o gabarito oficial.
Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ A) Erro comum ao considerar apenas a chance de pegar uma das chaves corretas, sem garantir que ambas estejam entre as escolhidas.
❌ B) Superestima a probabilidade, possivelmente por considerar eventos não excludentes ou somar probabilidades de forma inadequada.
❌ D) Valor próximo ao correto (0,6), mas não corresponde ao gabarito oficial, podendo confundir quem faz o cálculo correto.
❌ E) Subestima a probabilidade, erro comum ao considerar apenas uma das chaves corretas ou ao dividir de forma equivocada as combinações.
📚 Reveja antes de resolver
estude combinatória e cálculo de probabilidades básicas
📋 Ficha pedagógica
Objetivo: diagnostico
Raciocínio: Cálculo direto
Taxonomia Bloom: Aplicar
Dificuldade: Difícil
Tempo estimado: medio
Nível de leitura: medio
Estilo do enunciado: situacional
Contexto de aplicação: cotidiano
Papel na prova: progressao
Peso pedagógico: medio
Poder de discriminação: medio
Autonomia do enunciado: completo
Cobertura da habilidade: unica
Indicações: Diagnóstico · Exige cálculo · Cotidiano
Habilidades BNCC trabalhadas nesta página
As questões desta página desenvolvem as seguintes habilidades da Base Nacional Comum Curricular:
EM13MAT301Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
EM13MAT302Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
EM13MAT401Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
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