4 Questões de Matemática do UEL 2023

Considere X = {x1, x2, ? , x10} com xi ? xj para todo i, j ? {1, ? , 10} distintos. Deseja-se transmitir a um destinatário uma palavra formada com os caracteres do conjunto X. Para enviá-la de modo sigiloso, uma estratégia é criptografar a palavra trocando cada um de seus caracteres utilizando uma função f : X ? X que satisfaça as seguintes propriedades: I. f(f(x)) = x para todo x ? X II. f(x) ? x para todo x ? X Se apenas o remetente e o destinatário conhecem a função, a palavra é transmitida em segurança. Por exemplo: caso se escolha f de modo que f(x1) = x7, f(x2) = x5 e f(x10) = x3, então UEL - 2023

1. A) Se f : X ? X atende as propriedades I e II, então f é injetora e sobrejetora.
2. B) Se f : X ? X é tal que f(x1) = x5 e f(x5) = x2, então f atende as propriedades I e II.
3. C) Se f : X ? X atende as propriedades I e II, então f(f(f(x))) = x para todo x ? X.
4. D) Existem 105 funções f : X ? X com f(x1) = x2 e que atendem as propriedades I e II.
5. E) Existem 945 funções f : X ? X que atendem as propriedades I e II.

Leia o texto e analise a imagem a seguir. Uma resposta para os que creem na "Terra Plana" é o argumento grego, vigente há 2.500 anos, que se baseia na sombra projetada pela Terra na Lua durante um eclipse lunar. Adaptado de: emails.estadao.com.br UEL - 2023 Uma geómetra analisa a fotografia de um eclipse lunar e faz um esboço idealizado da imagem que observa. Para tanto, e utilizando seus conhecimentos matemáticos, constrói uma circunferência C1 de centro O e raio r > 0. Em seguida, toma o diâmetro PQ e um ponto A na circunferência, de modo que o ângulo AOP é reto. A partir daí, ela constrói uma circunferência C2 de centro A e raio AP. Por fim, sombreia uma região ao esboço, conforme a figura a seguir.

1. A) r²
2. B) 1/2 pr²
3. C) r²p - 1
4. D) r²(p - 1)
5. E) r²(1/2 p - 1)