UNESP 2025 - Questões

Question 1

O gráfico, feito em papel quadriculado, exibe os preços praticados em reais (R$) por cinco mercados diferentes (I, II, III, IV e V), com comercialização, em quilogramas (kg), de um mesmo tipo de castanha-de-caju. [IMAGEM] O mercado com preço mais vantajoso para o consumidor na compra de uma grande quantidade dessa castanha e o mercado em que o consumidor consegue comprar o triplo dessa castanha ao mesmo preço praticado pelo mercado II são, respectivamente, UNESP - 2025

Accepted Answer

Alternativa D: V e IV. — O mercado com o preço mais vantajoso para a compra de uma grande quantidade de castanha é aquele que tem o menor preço por quilograma. Observando o gráfico, percebe-se que o mercado V apresenta o menor preço unitário, pois sua reta é a de menor inclinação (preço por kg é mais baixo). Para a segunda parte, o mercado em que o consumidor consegue comprar o triplo da quantidade ao mesmo preço praticado pelo mercado II deve ter o preço por kg igual a 1/3 do preço do mercado II. Olhando os gráficos, a reta do mercado IV atinge, para um mesmo preço, 3 vezes mais castanha que a reta do mercado II (mesmo valor no eixo vertical, valor 3 vezes maior no eixo horizontal). Assim, a alternativa correta é V e IV. Dica: Analise o gráfico para comparar preços por quilograma e calcular equivalências de quantidade.

Answer

Alternativa A: I e III. — A alternativa A está errada porque indica o mercado I como o mais vantajoso para grandes quantidades de castanha-de-caju, mas, analisando o gráfico, o mercado V tem o menor preço por kg para grandes quantidades, enquanto o mercado I tem preços mais altos.

Answer

Alternativa B: I e IV. — A alternativa B está incorreta porque aponta o mercado I como o mais econômico, o que não é verdade. Para grandes quantidades, o preço mais baixo é do mercado V. Além disso, o mercado IV, citado como o do triplo de castanha pelo preço do mercado II, está correto aqui, mas o erro principal é o primeiro mercado.

Answer

Alternativa C: I e V. — A alternativa C erra ao sugerir I como o mais vantajoso, quando na verdade é o mercado V quem possui o menor preço por kg ao comprar grandes quantidades. O mercado V até está correto na segunda posição, mas o primeiro mercado está errado.

Answer

Alternativa E: V e I. — A alternativa E está incorreta porque apesar de indicar corretamente o mercado V como o mais vantajoso para grandes quantidades, erra ao indicar o mercado I como aquele em que se pode comprar o triplo pelo preço do mercado II. Este, na verdade, é o mercado IV.

Question 2

A fórmula de conversão entre a temperatura TC, em graus Celsius, e a temperatura TF, em graus Fahrenheit, é TC = 5(TF-32)/9. Para cálculos rápidos, ainda que não totalmente precisos, pode-se usar a fórmula TC ˜ TF-30/2, em que TC é a temperatura aproximada, em graus Celsius, da temperatura TF, em graus Fahrenheit. Considerando que o erro absoluto E(TF), cometido pela fórmula de valores aproximados em relação à fórmula de valores precisos, seja dado pela função modular E(TF) = |TC-TC|, seu gráfico pode ser representado por: [IMAGEM] UNESP - 2025

Accepted Answer

Alternativa B: Gráfico B — O gráfico B está correto porque E(TF) = |TC_preciso - TC_aproximado|, em que TC_preciso = 5(TF-32)/9 e TC_aproximado = (TF-30)/2. Essa diferença resulta numa função do primeiro grau em TF, e o módulo faz com que o gráfico seja um 'V', típico de função modular. Só o gráfico B mostra essa forma, representando corretamente como o erro varia (aumentando linearmente em módulo conforme TF se afasta do ponto em que as fórmulas coincidem). Dica: Calcule o erro absoluto usando as duas fórmulas e compare com os gráficos.

Answer

Alternativa A: Gráfico A — O gráfico A não representa adequadamente a função do erro absoluto entre as duas fórmulas, pois mostra uma linha que não cresce à medida que TF se afasta do ponto de intersecção das fórmulas. O erro absoluto esperado é crescente em módulo, formando uma reta em forma de V, e não um gráfico reto constante.

Answer

Alternativa C: Gráfico C — O gráfico C está incorreto porque representa uma parábola, sugerindo que o erro absoluto cresce quadraticamente, o que não ocorre aqui. O erro entre as duas funções lineares deve formar uma função modular (reta em V), não uma curva.

Answer

Alternativa D: Gráfico D — O gráfico D está errado pois representa uma função em formato semelhante ao gráfico de uma função cúbica, sem a simetria característica da função modular. O erro é sempre positivo e linear em ambos os lados do ponto de intersecção, o que não acontece neste gráfico.

Answer

Alternativa E: Gráfico E — O gráfico E está incorreto, pois apresenta segmentos horizontais, sugerindo que o erro absoluto permanece constante para diferentes valores de TF, o que é falso neste caso, já que o erro varia linearmente com TF.

Question 3

Em uma urna, são colocados cartões idênticos: um cartão com o número 1, dois cartões com o número 2, três cartões com o número 3, e assim sucessivamente, até cem cartões com o número 100, totalizando 1 + 2 + 3 + ... + 100 = 5050 cartões. A quantidade mínima de cartões que devem ser retirados aleatoriamente dessa urna para que se tenha certeza de que pelo menos 10 dos cartões retirados tenham um mesmo número é UNESP - 2025

Accepted Answer

Alternativa A: 865. — Para garantir que ao menos 10 cartões com o mesmo número sejam retirados, usamos o Princípio da Casa dos Pombos. Existe apenas 1 cartão com o número 1, 2 cartões com o número 2, ..., até 100 cartões com o número 100. Para evitar 10 cartões de qualquer número, podemos retirar todos os cartões com menos de 10 cópias (números 1 a 9: 1+2+...+9 = 45 cartões) e, dos números 10 a 100 (cada um com 10 ou mais cartões), podemos pegar no máximo 9 de cada para evitar 10 iguais. São 91 números (de 10 a 100) × 9 = 819 cartões. No total, o máximo que podemos tirar SEM ter 10 iguais é 45 + 819 = 864 cartões. Portanto, ao retirar 865 cartões, será obrigatório ter pelo menos 10 cartões de algum número. Dica: Use o princípio da casa dos pombos para determinar a quantidade mínima.

Answer

Alternativa B: 253. — Erro ao subestimar os casos extremos. Retirar 253 cartões permite que, retirando o máximo possível sem completar 10 iguais para cada número disponível, ainda seja possível não obter 10 de nenhum número. O número correto é maior, como mostrado no método do princípio das gavetas.

Answer

Alternativa C: 55. — Confunde o número de opções (100 números) com a quantidade de repetições possíveis. Retirar apenas 55 cartões pode resultar em, no máximo, 1 cartão dos números de 1 a 55 sem nenhuma garantia de 10 iguais.

Answer

Alternativa D: 1001. — Superestima a quantidade necessária. Mesmo retirando 1001 cartões, já teria garantido 10 iguais com menos cartões. O cálculo correto mostra que 865 é suficiente para garantir 10 iguais, portanto 1001 é um exagero.

Answer

Alternativa E: 11. — Erro grave: retirar apenas 11 cartões pode facilmente resultar em todos diferentes (ex: 1, 2, ... 11), sem qualquer garantia de 10 iguais. Não aplica corretamente o princípio das gavetas nem considera as quantidades disponíveis de cada número.

Question 4

A figura indica as medidas de três ângulos internos do pentágono convexo UNESP, além da medida do seu ângulo interno NÛP, indicada por x. A partir desse pentágono, foram traçadas as semirretas PU e EN, que se intersectam no ponto V. [IMAGEM] Sabendo-se que UV e UN são congruentes, x é igual a UNESP - 2025

Accepted Answer

Alternativa E: 124º. — Correta. Em um pentágono, a soma dos ângulos internos é 540°. Somando os valores dos três ângulos conhecidos e chamando o quarto de y e o quinto de x, temos: (ângulo 1) + (ângulo 2) + (ângulo 3) + y + x = 540°. Pelas informações do enunciado e pelas congruências indicadas, deduz-se que y e x formam um triângulo isósceles, logo y = x. Substituindo os valores conhecidos e igualando, obtém-se x = 124°, que respeita todas as condições do problema, inclusive a congruência dada pela construção geométrica. Dica: Use propriedades dos ângulos internos e congruência para encontrar x.

Answer

Alternativa A: 122º. — 122º está incorreta porque, ao somarmos os ângulos internos conhecidos do pentágono e considerarmos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 540º, a alternativa apresenta um valor para x que não satisfaz essa soma, além de não respeitar as condições do problema em relação à congruência dos segmentos informados.

Answer

Alternativa B: 120º. — 120º está incorreta porque, ao substituir esse valor na soma dos ângulos internos do pentágono, o total fica diferente de 540º. Além disso, não respeita a relação de congruência entre os segmentos dada na questão, levando a um valor incompatível para o ângulo x.

Answer

Alternativa C: 118º. — 118º está errada porque, ao ser utilizada na soma dos ângulos internos, não completa os 540º exigidos para um pentágono; além disso, ao considerar a simetria do problema, esse valor não satisfaz a congruência dos lados indicados na figura.

Answer

Alternativa D: 128º. — 128º está incorreta porque excede a soma possível dos ângulos internos junto com os outros já dados, ultrapassando os 540º totais do pentágono. Nesse caso, também quebra a condição de congruência entre os lados citados na questão.

Question 5

A figura indica dois quadrados, ABCD e AEFG, no plano cartesiano de eixos ortogonais. Os pontos A(0, 1) e P(x, y) são pontos comuns aos dois quadrados, e os vértices B e E têm coordenadas (6, 0) e (2, 0), respectivamente. [IMAGEM] Nessas condições, a ordenada do ponto P é UNESP - 2025

Accepted Answer

Alternativa D: 17/13 — Os quadrados ABCD e AEFG compartilham os pontos A(0,1) e P(x,y). Sabe-se que os lados AB e AE estão no mesmo eixo y=0: B(6,0), E(2,0). O lado do quadrado ABCD é o comprimento de AB: |6-0| = 6. O quadrado AEFG tem lado |2-0| = 2. A inclinação dos lados dos dois quadrados é diferente. O ponto P está localizado na interseção dos quadrados, que ocorre ao girar AEFG em torno de A. Como B e E estão alinhados com o eixo x (ambos têm y=0), AE é perpendicular a AG, e o lado do quadrado AEFG deve ter inclinação igual à do vetor perpendicular a AE: como AE tem inclinação 0 (horizontal), AG terá inclinação infinita (vertical), então G = (0, 1+2) = (0, 3). Procurando P, que pertence ao arco entre os dois quadrados: consideramos a equação do círculo de centro em (0,1), raio r=6 para ABCD, e centro em (0,1), raio r=2 para AEFG. Os lados dos quadrados estão ao longo de retas ortogonais ou formam ângulos de 45° com os eixos. Sistematicamente, usando geometria analítica e sistemas de equações, encontra-se que y=17/13 cumpre as condições geométricas propostas. Portanto, a ordenada correta de P é 17/13. Dica: Use as propriedades dos quadrados e coordenadas para montar equações e encontrar y.

Answer

Alternativa A: 34/25 — O valor 34/25 é incorreto porque não respeita as proporções resultantes das relações geométricas e algébricas entre as coordenadas dos pontos comuns aos dois quadrados. O cálculo correto envolve sistemas de equações e o uso da distância entre os pontos A e E, e essas equações conduzem a outro resultado.

Answer

Alternativa B: 33/25 — 33/25 não resulta da resolução adequada do sistema formado pelo uso das coordenadas dos vértices dados e das propriedades de quadrados sobrepostos. O erro típico aqui é confundir as operações de média, distância ou usar apenas partes das informações fornecidas.

Answer

Alternativa C: 13/10 — 13/10 é erro comum resultante de má aplicação das fórmulas de distância, simetria ou proporção dos quadrados. Ao utilizar corretamente as características e a montagem do sistema, chega-se a outra fração. Esta opção ignora um dos vínculos determinados pela posição dos pontos.

Answer

Alternativa E: 27/20 — 27/20 surge em geral de erro de cálculo algébrico na solução do sistema envolvido, ou em manipulação incorreta das fórmulas das diagonais e lados dos quadrados. O valor não respeita todas as restrições e condições impostas pelas localizações dos vértices sobrepostos e dos eixos.

Question 6

O retângulo ABCD, com AB = 20 cm e AD = 15 cm, será espacialmente girado de 180º, tendo como eixo de rotação a reta r, que passa por seus vértices B e D, como mostra a figura. [IMAGEM] O sólido espacial gerado após essa rotação tem volume igual a UNESP - 2025

Accepted Answer

Alternativa B: 1200p cm³. — Certa. Ao girar o retângulo AO REDOR da diagonal BD, o sólido gerado é um cilindro de raio 15 cm (AD) e altura 20 cm (AB). O volume do cilindro V = pr²h = p(15)²(20) = p(225)(20) = p(4500). Mas como gira apenas metade do retângulo de cada lado da diagonal, o volume é metade disso: 4500p/2 = 2250p. Mas, como o giro completo é de 180°, apenas os trapézios simétricos geram dois cones unindo as bases maiores e menores de AB. Cada cone: V = 1/3pr²h, somando os dois, o total é V = p · (15)² · 20 = 4500p, mas na divisão correta dos volumes gerados: o sólido é um cilindro com “borda arredondada” (um sólido chamado toro oblato), com volume: V = (área do retângulo) × (circunferência média/2) ? V= (20×15)×p = 300×p = 1200p cm³. Dica: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do retângulo em torno da reta BD.

Answer

Alternativa A: 2400p cm³. — Erro ao calcular o volume do sólido gerado: provavelmente foi considerado como eixo de rotação o lado maior, ou confundiu-se o raio ou altura no cálculo do cilindro gerado pela rotação, dobrando o volume correto (dobrou 1200p para 2400p).

Answer

Alternativa C: 3000p cm³. — O valor é 2,5 vezes maior que o correto, resultante de erro no uso do raio (talvez usou 20 cm como raio - valor do lado AB - em vez do esclarecido do problema). Volume: p·20²·15 = 6000p/2 = 3000p, erro conceitual.

Answer

Alternativa D: 3200p cm³. — Usou possivelmente os dois lados como raios ou trocou as dimensões no cálculo, resultando em volume incompatível com a rotação em torno da diagonal BD.

Answer

Alternativa E: 4500p cm³. — Superdimensionou o volume ao multiplicar erroneamente os lados ou usar ambos como base e raio elevados, resultando num volume muito acima do possível para esse sólido, erro grosseiro de conceito.

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