Quantos números distintos de 4 algarismos são tais que o produto de seus algarismos é igual a 420? (Mackenzie…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Questão
Quantos números distintos de 4 algarismos são tais que o produto de seus algarismos é igual a 420? (Mackenzie 2020)
- A) 38
- B) 44
- C) 46
- D) 48
- E) 56
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- O produto dos algarismos e 420, que nao e zero, logo nenhum algarismo pode ser 0. Fatoramos 420 = 2^2 x 3 x 5 x 7. Passo 2: O fator 7 e primo e so pode vir do algarismo 7. O fator 5 so pode vir do algarismo 5. Logo 5 e 7 estao entre os quatro algarismos. Passo 3: Dividindo 420 por 35 (5 x 7) obtemos 12, que deve ser o produto dos dois algarismos restantes. Os pares de algarismos de 1 a 9 com produto 12 sao (2,6), (6,2), (3,4) e (4,3). O par (1,12) nao serve, pois 12 nao e algarismo. Assim, existem dois conjuntos possiveis de algarismos: {2,5,6,7} e {3,4,5,7}. Passo 4: Em cada conjunto os quatro algarismos sao distintos, entao o numero de arranjos e 4! = 24. Como nao ha zero, todos os arranjos sao numeros de 4 algarismos validos. Passo 5: Total = 24 + 24 = 48, que e a alternativa D. O gabarito oficial esta correto. Alternativa A (38) esta errada porque subconta arranjos de pelo menos um dos conjuntos. Alternativa B (44) esta errada porque ignora parte das permutacoes de um dos conjuntos. Alternativa C (46) esta errada porque conta a mais ou a menos em um dos conjuntos, sem respeitar a contagem de 4! para cada um. Alternativa E (56) esta errada porque considera algum conjunto de algarismos inexistente ou repete algarismos sem justificativa.
💡 Dica: Fatore 420 e analise combinações de algarismos.
Alternativa por alternativa
Provavelmente calculou o numero de arranjos de um dos conjuntos de forma incompleta, por exemplo considerando apenas parte das permutacoes de {2,5,6,7} ou de {3,4,5,7}.
Pode ter aceitado um conjunto a mais ou somado valores de permutacao sem contar corretamente, como se o produto 12 admitisse outros pares de algarismos.
Provavelmente contou permutacoes com erro de aritmetica fatorial ou tratou um dos conjuntos como se tivesse algarismos repetidos, reduzindo ou aumentando a contagem.
É a resposta que o enunciado sustenta.
Pode ter considerado combinacoes com algarismos repetidos, como {2,2,3,5,7}, que nao produzem 420 com quatro algarismos, ou ter incluido um conjunto que nao satisfaz o produto.
Raio-X da questão
combinatória e fatoração
avaliacao
fatoração de números inteiros · permutação de elementos distintos
fatoração de números e permutação de algarismos
Confundir fatoração com soma ou não considerar restrições dos algarismos.
pensamento_critico
abstrato
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