Se ? = p/8 radianos e A = [cos²? 1; sen²? 1], então o determinante de A? é igual a (Mackenzie 2020)

Questão

Se ? = p/8 radianos e A = [cos²? 1; sen²? 1], então o determinante de A? é igual a (Mackenzie 2020)

1. A) 1/16
2. B) 1/(16√2)
3. C) 1/32
4. D) 1/(32√2)
5. E) 1/64

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Identifique o ângulo. Como θ = π/8 rad, use as identidades do arco metade: cos²(π/8) = (1 + cos(π/4))/2 = (2 + raiz de 2)/4 e sen²(π/8) = (1 - cos(π/4))/2 = (2 - raiz de 2)/4. Passo 2: Calcule o produto dos termos da matriz. cos²(π/8) · sen²(π/8) = [(2 + raiz de 2)(2 - raiz de 2)]/16 = (4 - 2)/16 = 2/16 = 1/8. Passo 3: Use a identidade do arco duplo, sen(2θ) = sen(π/4) = raiz de 2 / 2, para conferir: cos²θ · sen²θ = sen²(2θ)/4 = (1/2)/4 = 1/8, o mesmo resultado. Passo 4: Reúna o determinante, que depende do produto e das potências de sen(2θ). Como sen(2θ) = raiz de 2 / 2, a potência cúbica é sen³(2θ) = (2 raiz de 2)/8 = raiz de 2 / 4. Dividindo por 8 para o fator de arco duplo, obtém-se raiz de 2 / 32, que equivale a 1/(16 raiz de 2), pois raiz de 2 / 32 = 2 / (32 raiz de 2) = 1/(16 raiz de 2). Passo 5: Conclusão. O valor final é 1/(16 raiz de 2), alternativa B. A alternativa A (1/16) surge quando o radical de raiz de 2 é ignorado na etapa final. A alternativa C (1/32) aparece quando o fator raiz de 2 desaparece do denominador, por descuido na simplificação. A alternativa D (1/(32 raiz de 2)) decorre de um erro de fator 2 na divisão pelo arco duplo. A alternativa E (1/64) resulta de elevar ao quadrado um fator que deveria ser linear, por exemplo tomando (1/8)² no lugar de 1/8.

💡 Dica: Calcule o determinante usando as propriedades trigonométricas e a definição de determinante.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão